Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1082

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1082

xy+ln⁡y=1,M(1;1).xy+\ln y=1,
\qquad M(1;1).

Решение

Идея

Продифференцируем уравнение кривой неявно по переменной xx:
1⋅y+x⋅y′+y′y=01 \cdot y + x \cdot y' + \frac{y'}{y} = 0Подставим координаты точки M(1;1)M(1; 1), чтобы найти угловой коэффициент касательной y′y':1⋅1+1⋅y′+y′1=0  ⟹  1+2y′=0  ⟹  y′=−121 \cdot 1 + 1 \cdot y' + \frac{y'}{1} = 0 \implies 1 + 2y' = 0 \implies y' = -\frac{1}{2}Уравнение касательной:y−1=−12(x−1)  ⟹  2y−2=−x+1  ⟹  x+2y−3=0y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies 2y - 2 = -x + 1 \implies x + 2y - 3 = 0Уравнение нормали:
Угловой коэффициент нормали knorm=2k_{norm} = 2.y−1=2(x−1)  ⟹  y−1=2x−2  ⟹  2x−y−1=0y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies 2x - y - 1 = 0
Демидович № 1082 — решение