Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1082

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали в данных точках к следующим кривым:

xy+\ln y=1,\qquad M(1;1).

Решение

Продифференцируем уравнение кривой неявно по переменной

x

1 \cdot y + x \cdot y' + \frac{y'}{y} = 0

Подставим координаты точки

M(1; 1)

, чтобы найти угловой коэффициент касательной

y'

1 \cdot 1 + 1 \cdot y' + \frac{y'}{1} = 0 \implies 1 + 2y' = 0 \implies y' = -\frac{1}{2}

Уравнение касательной:

y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies 2y - 2 = -x + 1 \implies x + 2y - 3 = 0

Уравнение нормали:
Угловой коэффициент нормали

k_{norm} = 2

y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies 2x - y - 1 = 0