Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1070

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1070

Доказать, что у астроиды

x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}\qquad(a>0)

длина отрезка касательной, заключённого между осями координат, есть величина постоянная.

Доказательство

Найдём производную

y'

из уравнения астроиды, продифференцировав его по

x

как неявную функцию:

\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y' = 0 \implies y' = -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}

Пусть

M(x_0,y_0)

— точка астроиды, для которой

x_0y_0\ne0

. Уравнение касательной к кривой в этой точке имеет вид:

Y - y_0 = y'(x_0)(X - x_0) \implies Y - y_0 = -\frac{y_0^{\frac{1}{3}}}{x_0^{\frac{1}{3}}}(X - x_0)

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.
Пересечение с осью

Ox

(

Y = 0

-y_0 = -\frac{y_0^{\frac{1}{3}}}{x_0^{\frac{1}{3}}}(X - x_0) \implies X - x_0 = x_0^{\frac{1}{3}}y_0^{\frac{2}{3}} \implies X = x_0 + x_0^{\frac{1}{3}}y_0^{\frac{2}{3}} = x_0^{\frac{1}{3}}(x_0^{\frac{2}{3}} + y_0^{\frac{2}{3}})

Так как точка

M(x_0, y_0)

лежит на астроиде, то

x_0^{\frac{2}{3}} + y_0^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

. Следовательно,

X = a^{\frac{2}{3}}x_0^{\frac{1}{3}}

Пересечение с осью

Oy

(

X = 0

Y - y_0 = -\frac{y_0^{\frac{1}{3}}}{x_0^{\frac{1}{3}}}(-x_0) \implies Y - y_0 = x_0^{\frac{2}{3}}y_0^{\frac{1}{3}} \implies Y = y_0 + x_0^{\frac{2}{3}}y_0^{\frac{1}{3}} = y_0^{\frac{1}{3}}(y_0^{\frac{2}{3}} + x_0^{\frac{2}{3}})

И снова, пользуясь уравнением астроиды, получаем:

Y = a^{\frac{2}{3}}y_0^{\frac{1}{3}}

Теперь найдём длину отрезка касательной

L

, заключённого между осями (расстояние от точки

(X, 0)

до точки

(0, Y)

L = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{\left(a^{\frac{2}{3}}x_0^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(a^{\frac{2}{3}}y_0^{\frac{1}{3}}\right)^2} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{4}{3}}y_0^{\frac{2}{3}}}

Вынесем общий множитель:

L = \sqrt{a^{\frac{4}{3}} \left(x_0^{\frac{2}{3}} + y_0^{\frac{2}{3}}\right)} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt{a^2} = a \quad (\text{так как } a > 0)

Полученная длина

L = a

не зависит от выбора точки касания

M(x_0, y_0)

, что и требовалось доказать.

Проверка

В вершинах астроиды касательная совпадает с одной из координатных осей, поэтому два конца отрезка не определяются как два единственных пересечения с осями. Значение

a

в вершине понимается как предел длин отрезков при приближении по регулярным точкам.

Что и требовалось доказать