Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1068

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1068

Доказать, что показательная криваяy=ax(a>0)y=a^x\qquad(a>0)имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной
к показательной кривой.
Доказано:При a>0a>0, a≠1a\ne1τ=1ln⁡a,PT=1∣ln⁡a∣,xT=x0−1ln⁡a\tau=\frac{1}{\ln a},
\qquad
PT=\frac{1}{|\ln a|},
\qquad
x_T=x_0-\frac{1}{\ln a}

Доказательство

Сначала рассмотрим невырожденный случай a≠1a\ne1. Пусть
M(x0,y0)M(x_0,y_0) --- произвольная точка кривой, P(x0,0)P(x_0,0) --- её
проекция на ось OxOx, а TT --- точка пересечения касательной с
этой осью.
Производная равнаy′=axln⁡a=yln⁡ay'=a^x\ln a=y\ln aВведём величинуτ=xP−xT=y0y′(x0)=1ln⁡a\tau=x_P-x_T=\frac{y_0}{y'(x_0)}=\frac{1}{\ln a}ТогдаxT=x0−τ,PT=∣τ∣=1∣ln⁡a∣x_T=x_0-\tau,
\qquad
PT=|\tau|=\frac{1}{|\ln a|}Если a>1a>1, то τ>0\tau>0 и точка TT лежит левее PP.
Если 0<a<10<a<1, то τ<0\tau<0 и точка TT лежит правее PP.
Для построения касательной из MM опускают перпендикуляр MPMP
на ось OxOx, отмечают на этой оси точку
T(x0−1/ln⁡a,0)T(x_0-1/\ln a,0) и проводят прямую MTMT. При a=1a=1 кривая
является прямой y=1y=1, её касательная горизонтальна, а конечной
подкасательной нет.

Построение графика

На рисунке показан случай a=ea=e. Для точки
M(0,1)M(0,1) постоянная подкасательная равна 11. Поэтому её концы
имеют координаты P(0,0)P(0,0) и T(−1,0)T(-1,0), а уравнение касательной
имеет вид y=x+1y=x+1.график к задаче Демидовича № 1068

Ответ

При a>0a>0, a≠1a\ne1τ=1ln⁡a,PT=1∣ln⁡a∣,xT=x0−1ln⁡a\tau=\frac{1}{\ln a},
\qquad
PT=\frac{1}{|\ln a|},
\qquad
x_T=x_0-\frac{1}{\ln a}

Что и требовалось доказать

Демидович № 1068 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика