Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1068

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что показательная кривая

y=a^x\qquad(a>0)

имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной
к показательной кривой.

Доказано:При

a>0

a\ne1

\tau=\frac{1}{\ln a},\qquadPT=\frac{1}{|\ln a|},\qquadx_T=x_0-\frac{1}{\ln a}

Доказательство

Идея

Сначала рассмотрим невырожденный случай

a\ne1

. Пусть

M(x_0,y_0)

— произвольная точка кривой,

P(x_0,0)

— её
проекция на ось

Ox

, а

T

— точка пересечения касательной с
этой осью.

1
Производная равна $y'=a^x\ln a=y\ln a$ Введём величину $\tau=x_P-x_T=\frac{y_0}{y'(x_0)}=\frac{1}{\ln a}$ Тогда $x_T=x_0-\tau,\qquadPT=|\tau|=\frac{1}{|\ln a|}$ Если $a>1$ , то $\tau>0$ и точка $T$ лежит левее $P$ .
Если $0<a<1$ , то $\tau<0$ и точка $T$ лежит правее $P$ .
2
Для построения касательной из $M$ опускают перпендикуляр $MP$
на ось $Ox$ , отмечают на этой оси точку
$T(x_0-1/\ln a,0)$ и проводят прямую $MT$ . При $a=1$ кривая
является прямой $y=1$ , её касательная горизонтальна, а конечной
подкасательной нет.
3
Построение графика
На рисунке показан случай $a=e$ . Для точки
$M(0,1)$ постоянная подкасательная равна $1$ . Поэтому её концы
имеют координаты $P(0,0)$ и $T(-1,0)$ , а уравнение касательной
имеет вид $y=x+1$ . $график к задаче Демидовича № 1068$

Проверка

Ответ. При

a>0

a\ne1

\tau=\frac{1}{\ln a},\qquadPT=\frac{1}{|\ln a|},\qquadx_T=x_0-\frac{1}{\ln a}

Что и требовалось доказать