Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1057

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1057

Доказать, что параболаy=a(x−x1)(x−x2)(a≠0, x1<x2)y=a(x-x_1)(x-x_2)
\qquad(a\ne0,\ x_1<x_2)пересекает ось OxOx под углами α\alpha и β\beta0<α<π2,0<β<π2,0<\alpha<\frac\pi2,
\qquad
0<\beta<\frac\pi2,равными между собой.

Доказательство

Идея

Функция обращается в нуль в точках x=x1x = x_1 и x=x2x = x_2, это и есть точки пересечения с осью OxOx.
Найдём производную функции:y′=a(x−x2)+a(x−x1)=a(2x−x1−x2)y' = a(x - x_2) + a(x - x_1) = a(2x - x_1 - x_2)Тангенс угла пересечения кривой с осью абсцисс равен модулю производной в точке пересечения (поскольку углы α\alpha и β\beta лежат в первой четверти, их тангенсы положительны).
В точке x=x1x = x_1:tan⁡α=∣y′(x1)∣=∣a(2x1−x1−x2)∣=∣a(x1−x2)∣\tan \alpha = |y'(x_1)| = |a(2x_1 - x_1 - x_2)| = |a(x_1 - x_2)|Так как по условию x1<x2x_1 < x_2, то x1−x2<0x_1 - x_2 < 0, следовательно ∣x1−x2∣=x2−x1|x_1 - x_2| = x_2 - x_1.tan⁡α=∣a∣(x2−x1)\tan \alpha = |a|(x_2 - x_1)

Проверка

В точке x=x2x = x_2:tan⁡β=∣y′(x2)∣=∣a(2x2−x1−x2)∣=∣a(x2−x1)∣=∣a∣(x2−x1)\tan \beta = |y'(x_2)| = |a(2x_2 - x_1 - x_2)| = |a(x_2 - x_1)| = |a|(x_2 - x_1)Сравнивая результаты, получаем tan⁡α=tan⁡β\tan \alpha = \tan \beta. Поскольку 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2} и 0<β<π20 < \beta < \frac{\pi}{2}, отсюда следует, что α=β\alpha = \beta. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1057 — решение