Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1065

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1065

Показать, что касательная к логарифмической спиралиr=aemφr=ae^{m\varphi}(aa и mm — постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.
Доказано:Меньший угол постоянен: θ=arctan⁡(1/∣m∣)\theta=\arctan(1/|m|) при m≠0m\ne0 и θ=π/2\theta=\pi/2 при m=0m=0 (a>0a>0).

Доказательство

Для невырожденной спирали полагаем a>0a>0. Пустьer=(cos⁡φ,sin⁡φ),eφ=(−sin⁡φ,cos⁡φ).\mathbf e_r=(\cos\varphi,\sin\varphi),\qquad
\mathbf e_\varphi=(-\sin\varphi,\cos\varphi).Эти единичные векторы перпендикулярны. Радиус-вектор равен R=rer\mathbf R=r\mathbf e_r. Дифференцируя координаты, получаем направляющий вектор касательной:R′=r′er+reφ.\mathbf R'=r'\mathbf e_r+r\mathbf e_\varphi.Так как r=aemφr=ae^{m\varphi}, имеем r′=mrr'=mr, откудаR′=r(mer+eφ).\mathbf R'=r(m\mathbf e_r+\mathbf e_\varphi).Следовательно, относительно радиального направления составляющие касательной пропорциональны постоянным числам mm и 11. Для меньшего угла θ\theta между касательной и прямой радиусаcos⁡θ=∣m∣m2+1.\cos\theta=\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}}.Он не зависит от точки: при m≠0m\ne0 это arctan⁡(1/∣m∣)\arctan(1/|m|), а при m=0m=0 — π/2\pi/2. Последний случай соответствует окружности r=ar=a, касательная к которой перпендикулярна радиусу.

Если угол измеряется от направленного радиуса к касательной в направлении роста φ\varphi, его косинус равен m/m2+1m/\sqrt{m^2+1}; этот угол также постоянен. При a=0a=0 остаётся одна точка, и вопрос о касательной к спирали не возникает.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1065 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика