Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1065

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что касательная к логарифмической спирали

r=ae^{m\varphi}

(

a

m

— постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.

Доказательство

Известно, что тангенс угла

\mu

между радиус-вектором точки и касательной к кривой, заданной уравнением в полярных координатах

r = r(\varphi)

, вычисляется по формуле:

\tan \mu = \frac{r}{r'}

Вычислим производную полярного радиуса по полярному углу для логарифмической спирали:

r' = \frac{dr}{d\varphi} = a \cdot m e^{m\varphi}

Подставим найденное выражение в формулу для тангенса угла:

\tan \mu = \frac{a e^{m\varphi}}{a m e^{m\varphi}} = \frac{1}{m}

Поскольку величина

m

является постоянной по условию, тангенс угла

\mu

также постоянен. А значит, постоянен и сам угол

\mu = \arctan \frac{1}{m}

, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать