Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1055

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

y=(x+1)\sqrt[3]{3-x}

в точках:

\text{а) }A(-1,0);\qquad\text{б) }B(2,3);\qquad\text{в) }C(3,0).

Решение

Идея

Найдём производную заданной функции. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

y' = 1 \cdot (3-x)^{\frac{1}{3}} + (x+1) \cdot \frac{1}{3}(3-x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-1)

Приведём выражение к общему знаменателю:

y' = \sqrt[3]{3-x} - \frac{x+1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} = \frac{3(3-x) - (x+1)}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} = \frac{8-4x}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}

Уравнение касательной в точке

(x_0, y_0)

имеет вид

y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)

.
Уравнение нормали:

y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0)

(при

y'(x_0) \ne 0

1
Пункт а)
В точке $A(-1, 0)$ : $y'(-1) = \frac{8 - 4(-1)}{3\sqrt[3]{(3 - (-1))^2}} = \frac{12}{3\sqrt[3]{16}} = \frac{4}{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4}$ Уравнение касательной: $y - 0 = \sqrt[3]{4}(x + 1) \implies y = \sqrt[3]{4}(x + 1)$ Уравнение нормали: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}(x + 1) \implies y = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2}(x + 1)$
2
Пункт б)
В точке $B(2, 3)$ : $y'(2) = \frac{8 - 4(2)}{3\sqrt[3]{(3 - 2)^2}} = \frac{0}{3} = 0$ Поскольку производная равна нулю, касательная параллельна оси $Ox$ , а нормаль — оси $Oy$ .
Уравнение касательной: $y = 3$ .
Уравнение нормали: $x = 2$ .
3
Пункт в)
В точке $C(3, 0)$ : $y'(3) = \frac{8 - 4(3)}{3\sqrt[3]{(3 - 3)^2}} = \frac{-4}{0} = \infty$ Производная обращается в бесконечность, что означает вертикальную касательную и горизонтальную нормаль.
Уравнение касательной: $x = 3$ .
Уравнение нормали: $y = 0$ .