Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1055

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

y=(x+1)\sqrt[3]{3-x}

в точках:

\text{а) }A(-1,0);\qquad\text{б) }B(2,3);\qquad\text{в) }C(3,0).

Ответ:а) Касательная

y=\sqrt[3]4(x+1)

, нормаль

y=-(x+1)/\sqrt[3]4

. б) Касательная

y=3

, нормаль

x=2

. в) Касательная

x=3

, нормаль

y=0

Решение

Найдём производную заданной функции. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

y' = 1 \cdot (3-x)^{\frac{1}{3}} + (x+1) \cdot \frac{1}{3}(3-x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-1)

Приведём выражение к общему знаменателю:

y' = \sqrt[3]{3-x} - \frac{x+1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} = \frac{3(3-x) - (x+1)}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} = \frac{8-4x}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}

Уравнение касательной в точке

(x_0, y_0)

имеет вид

y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)

.
Уравнение нормали:

y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0)

(при

y'(x_0) \ne 0

В точке

A(-1, 0)

y'(-1) = \frac{8 - 4(-1)}{3\sqrt[3]{(3 - (-1))^2}} = \frac{12}{3\sqrt[3]{16}} = \frac{4}{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4}

Уравнение касательной:

y - 0 = \sqrt[3]{4}(x + 1) \implies y = \sqrt[3]{4}(x + 1)

Уравнение нормали:

y - 0 = -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}(x + 1) \implies y = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2}(x + 1)

В точке

B(2, 3)

y'(2) = \frac{8 - 4(2)}{3\sqrt[3]{(3 - 2)^2}} = \frac{0}{3} = 0

Поскольку производная равна нулю, касательная параллельна оси

Ox

, а нормаль — оси

Oy

.
Уравнение касательной:

y = 3

.
Уравнение нормали:

x = 2

В точке

C(3,0)

формула производной при

x\ne3

не определена. Проверим разностное отношение. При

x=3+h

\frac{y(3+h)-y(3)}h=\frac{(4+h)\sqrt[3]{-h}}h =-\frac{4+h}{|h|^{2/3}}\longrightarrow-\infty.

Поэтому касательная вертикальна:

x=3

. Перпендикулярная ей нормаль горизонтальна:

y=0

. Конечной производной в этой точке нет.