Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1067

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1067

Доказать, что у параболыy2=2px:y^2=2px\mathpunct{:}а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания;

б) поднормаль постоянна.

Дать способ построения касательной к параболе.
Доказано:PT=2x0PT=2x_0, PN=pPN=p при p>0p>0. В невырожденной точке касательная проходит через M(x0,y0)M(x_0,y_0) и T(−x0,0)T(-x_0,0); в вершине её уравнение x=0x=0.

Доказательство

Считаем p>0p>0. Пусть M(x0,y0)M(x_0,y_0) --- отличная от вершины точка
параболы, P(x0,0)P(x_0,0) --- её проекция на ось OxOx, TT ---
точка пересечения касательной с осью OxOx, а NN --- точка
пересечения нормали с этой осью.
Дифференцируя уравнение параболы, получаем2yy′=2p,y′=py2yy'=2p,
\qquad
y'=\frac{p}{y}

Пункт а)

Длина подкасательной равнаPT=∣y0y′(x0)∣=y02p=2x0PT=\left|\frac{y_0}{y'(x_0)}\right|
=\frac{y_0^2}{p}=2x_0При этомxT=x0−PT=−x0x_T=x_0-PT=-x_0

Ответ

Подкасательная равнаPT=2x0PT=2x_0

Пункт б)

Угловой коэффициент нормали равенkn=−1y′(x0)=−y0pk_n=-\frac{1}{y'(x_0)}=-\frac{y_0}{p}Поэтому уравнение нормали имеет видy−y0=−y0p(x−x0)y-y_0=-\frac{y_0}{p}(x-x_0)Подставляя y=0y=0 и учитывая y0≠0y_0\ne0, получаемxN=x0+px_N=x_0+pСледовательно, длина поднормали не зависит от точки MM:PN=pPN=p

Ответ

Поднормаль постоянна и равнаPN=pPN=p
Для построения касательной можно отразить точку PP относительно
вершины OO, получив точку T(−x0,0)T(-x_0,0), и провести прямую MTMT.
Можно также отложить от PP вдоль положительного направления оси
OxOx постоянный отрезок PN=pPN=p, провести нормаль MNMN, а затем
в точке MM восстановить перпендикуляр к ней. В вершине OO
касательная имеет уравнение x=0x=0.

Построение графика

На рисунке взяты p=1p=1 и M(2,2)M(2,2). Тогда
T(−2,0)T(-2,0), P(2,0)P(2,0), N(3,0)N(3,0), касательная имеет уравнение
y−2=(1/2)(x−2)y-2=(1/2)(x-2), то есть y=x/2+1y=x/2+1, а нормаль --- уравнение y−2=−2(x−2)y-2=-2(x-2), то есть y=−2x+6y=-2x+6.график к задаче Демидовича № 1067

Ответ

Искомая касательная проходит через заданную точку MM
и точку T(−x0,0)T(-x_0,0), полученную отражением PP относительно
OO. Её также можно построить как перпендикуляр к нормали MNMN,
если предварительно отложить постоянную поднормаль PN=pPN=p.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1067 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика