Демидович — задача 1067

1. 1
   Дифференцируя уравнение параболы, получаем$$2yy'=2p,$$
   \qquad
   y'=\frac{p}{y}
2. 2

   Пункт а)

   Длина подкасательной равна$$PT=\left|\frac{y_0}{y'(x_0)}\right|$$
   =\frac{y_0^2}{p}=2x_0При этом$$x_T=x_0-PT=-x_0$$
3. 3

   Ответ

   Подкасательная равна$$PT=2x_0$$
4. 4

   Пункт б)

   Угловой коэффициент нормали равен$$k_n=-\frac{1}{y'(x_0)}=-\frac{y_0}{p}$$Поэтому уравнение нормали имеет вид$$y-y_0=-\frac{y_0}{p}(x-x_0)$$Подставляя $y=0$ и учитывая $y_0\ne0$, получаем$$x_N=x_0+p$$Следовательно, длина поднормали не зависит от точки $M$:$$PN=p$$
5. 5

   Ответ

   Поднормаль постоянна и равна$$PN=p$$
6. 6
   Для построения касательной можно отразить точку $P$ относительно
   вершины $O$, получив точку $T(-x_0,0)$, и провести прямую $MT$.
   Можно также отложить от $P$ вдоль положительного направления оси
   $Ox$ постоянный отрезок $PN=p$, провести нормаль $MN$, а затем
   в точке $M$ восстановить перпендикуляр к ней. В вершине $O$
   касательная имеет уравнение $x=0$.
7. 7

   Построение графика

   На рисунке взяты $p=1$ и $M(2,2)$. Тогда
   $T(-2,0)$, $P(2,0)$, $N(3,0)$, касательная имеет уравнение
   $y=x/2+1$, а нормаль — уравнение $y=-2x+6$.

Что и требовалось доказать