Демидович — задача 1063

1. 1
   Кривая $y = \arctan nx$ пересекает ось $Ox$ при $x = 0$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной:$$y' = \frac{n}{1 + (nx)^2} \implies y'(0) = n$$Тангенс угла наклона $\alpha$ равен $n$. По условию угол должен быть больше $89^\circ$, следовательно:$$\tan \alpha > \tan 89^\circ \implies n > \tan 89^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим функцию $y = |x|^\alpha$. При $x \ne 0$ её производная равна $y' = \alpha |x|^{\alpha-1} \operatorname{sgn} x$.
3. 3

   Пункт а)

   Если $0 < \alpha < 1$, то показатель степени $\alpha - 1 < 0$. При $x \to 0$ модуль производной $|y'| \to +\infty$. Это означает, что касательная в начале координат вертикальна и совпадает с осью $Oy$.
4. 4

   Пункт б)

   Если $1 < \alpha < +\infty$, то $\alpha - 1 > 0$. При $x \to 0$ производная $y' \to 0$. Касательная горизонтальна и совпадает с осью $Ox$.
   
   Секущая проходит через точки $A(0, 1)$ и $M(x, |x|^\alpha)$ при $x \ne 0$. Угловой коэффициент секущей:$$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{|x|^\alpha - 1}{x - 0} = \frac{|x|^\alpha - 1}{x}$$При $x \to 0$:
   Если $\alpha > 0$, то $|x|^\alpha \to 0$, и числитель стремится к $-1$. Дробь эквивалентна $-1/x$, то есть $|k| \to \infty$.
   Если $\alpha < 0$, то $|x|^\alpha \to +\infty$, и $|k| \to \infty$.
   В обоих случаях $|k| \to \infty$, что геометрически означает стремление секущей к вертикальному положению, то есть к оси $Oy$.

Что и требовалось доказать