Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1063

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1063

1. При каком выборе параметра nn криваяy=arctan⁡nx(n>0)y=\arctan nx
\qquad(n>0)пересекает ось OxOx под углом, большим 89∘89^\circ?

2. Показать, что криваяy=∣x∣αy=|x|^\alphaкасается:

а) оси OyOy при 0<α<10<\alpha<1;

б) оси OxOx при 1<α<+∞1<\alpha<+\infty.

3. Показать, что для графика функцииy={∣x∣α,α≠0, x≠0,1,x=0,y=
\begin{cases}
|x|^\alpha,&\alpha\ne0,\ x\ne0,\\
1,&x=0,
\end{cases}предельное положение секущей, проходящей через точку A(0,1)A(0,1), есть ось OyOy.

Доказательство

Кривая y=arctan⁡nxy = \arctan nx пересекает ось OxOx при x=0x = 0. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной:y′=n1+(nx)2  ⟹  y′(0)=ny' = \frac{n}{1 + (nx)^2} \implies y'(0) = nТангенс угла наклона α\alpha равен nn. По условию угол должен быть больше 89∘89^\circ, следовательно:tan⁡α>tan⁡89∘  ⟹  n>tan⁡89∘\tan \alpha > \tan 89^\circ \implies n > \tan 89^\circ
Рассмотрим функцию y=∣x∣αy = |x|^\alpha. При x≠0x \ne 0 её производная равна y′=α∣x∣α−1sgn⁡xy' = \alpha |x|^{\alpha-1} \operatorname{sgn} x.

Пункт а)

Если 0<α<10<\alpha<1, разностное отношение в начале координат равно∣h∣α−0h=sgn⁡(h)∣h∣α−1.\frac{|h|^\alpha-0}{h}=\operatorname{sgn}(h)|h|^{\alpha-1}.Его модуль стремится к бесконечности, то есть Δx/Δy→0\Delta x/\Delta y\to0. Касательная вертикальна и совпадает с осью OyOy.

Пункт б)

Если α>1\alpha>1, то∣∣h∣α−0h∣=∣h∣α−1⟶0.\left|\frac{|h|^\alpha-0}{h}\right|=|h|^{\alpha-1}\longrightarrow0.Поэтому y′(0)=0y'(0)=0 и касательная совпадает с осью OxOx.

3. Секущая проходит через точки A(0,1)A(0, 1) и M(x,∣x∣α)M(x, |x|^\alpha) при x≠0x \ne 0. Угловой коэффициент секущей:k=ΔyΔx=∣x∣α−1x−0=∣x∣α−1xk = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{|x|^\alpha - 1}{x - 0} = \frac{|x|^\alpha - 1}{x}При x→0x \to 0:
Если α>0\alpha > 0, то ∣x∣α→0|x|^\alpha \to 0, и числитель стремится к −1-1. Дробь эквивалентна −1/x-1/x, то есть ∣k∣→∞|k| \to \infty.
Если α<0\alpha < 0, то ∣x∣α→+∞|x|^\alpha \to +\infty, и ∣k∣→∞|k| \to \infty.
В обоих случаях ∣k∣→∞|k| \to \infty, что геометрически означает стремление секущей к вертикальному положению, то есть к оси OyOy.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1063 — решение | Высшая математика — Профиматика