Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1064

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1064

Определить угол между левой и правой касательными к кривой:

\text{а) }y=\sqrt{1-e^{-a^2x^2}}\quad\text{в точке }x=0;

\text{б) }y=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{в точке }x=1.

Решение

Идея

Угол между односторонними касательными находится через левую и правую производные.

1
Пункт а)
Найдём производную функции $y = \sqrt{1-e^{-a^2x^2}}$ при $x \ne 0$ : $y' = \frac{1}{2\sqrt{1-e^{-a^2x^2}}} \cdot (-e^{-a^2x^2}) \cdot (-2a^2x) = \frac{a^2 x e^{-a^2x^2}}{\sqrt{1-e^{-a^2x^2}}}$ Найдём правый и левый пределы $y'$ при $x \to 0$ . Используем асимптотическую эквивалентность $1 - e^{-t} \sim t$ при $t \to 0$ : $\lim_{x \to +0} y' = \lim_{x \to +0} \frac{a^2 x}{\sqrt{a^2 x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{a^2 x}{|a| x} = |a|$ $\lim_{x \to -0} y' = \lim_{x \to -0} \frac{a^2 x}{|a| |x|} = \lim_{x \to -0} \frac{a^2 x}{-|a| x} = -|a|$ Угловые коэффициенты: $k_1 = |a|$ и $k_2 = -|a|$ . Угол $\theta$ между ними: $\tan \theta = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right| = \left|\frac{2|a|}{1 - a^2}\right|$ Если $|a| = 1$ , то касательные перпендикулярны ( $\theta = \frac{\pi}{2}$ ).
2
Пункт б)
Найдём производную функции $y = \arcsin\frac{2x}{1+x^2}$ при $x \ne 1$ : $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2}} \cdot \frac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{|1-x^2|} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 \operatorname{sgn}(1-x^2)}{1+x^2}$ Найдём односторонние производные в точке $x = 1$ :
Для правой касательной $x \to 1+0 \implies 1-x^2 < 0 \implies \operatorname{sgn}(1-x^2) = -1$ : $y'_+(1) = \frac{2(-1)}{1+1} = -1$ Для левой касательной $x \to 1-0 \implies 1-x^2 > 0 \implies \operatorname{sgn}(1-x^2) = 1$ : $y'_-(1) = \frac{2(1)}{1+1} = 1$ Так как $k_1 k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$ , левая и правая касательные перпендикулярны. Угол равен $\frac{\pi}{2}$ .