Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3. Геометрический смысл производной

Демидович — задача 1064

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1064

Определить угол между левой и правой касательными к кривой:а) y=1−e−a2x2в точке x=0;\text{а) }y=\sqrt{1-e^{-a^2x^2}}\quad\text{в точке }x=0;б) y=arcsin⁡2x1+x2в точке x=1.\text{б) }y=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{в точке }x=1.
Ответ:а) θ=arccos⁡∣1−a2∣1+a2\displaystyle\theta=\arccos\frac{|1-a^2|}{1+a^2}. б) θ=π/2\theta=\pi/2. Здесь указан меньший угол между прямыми.

Решение

а) При a≠0a\ne0 и h≠0h\ne01−e−a2h2−0h=∣a∣∣h∣h1−e−a2h2a2h2.\frac{\sqrt{1-e^{-a^2h^2}}-0}{h}
=|a|\frac{|h|}{h}\sqrt{\frac{1-e^{-a^2h^2}}{a^2h^2}}.Дробь под корнем стремится к 11 по замечательному пределу для экспоненты. Поэтому y−′(0)=−∣a∣y'_-(0)=-|a|, y+′(0)=∣a∣y'_+(0)=|a|. При a=0a=0 функция тождественно равна нулю и обе производные равны нулю.

Для меньшего угла θ∈[0,π/2]\theta\in[0,\pi/2] между прямыми с наклонами −∣a∣-|a| и ∣a∣|a|cos⁡θ=∣(1,−∣a∣)⋅(1,∣a∣)∣1+a21+a2=∣1−a2∣1+a2.\cos\theta=\frac{|(1,-|a|)\cdot(1,|a|)|}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+a^2}}
=\frac{|1-a^2|}{1+a^2}.Таким образом, θ=arccos⁡(∣1−a2∣/(1+a2))\theta=\arccos\bigl(|1-a^2|/(1+a^2)\bigr). При ∣a∣=1|a|=1 это прямой угол; при a=0a=0 касательные совпадают.

б) В №1007 установлены точные формулы в окрестности x=1x=1:y=2arctg⁡x(x⩽1),y=π−2arctg⁡x(x⩾1).y=2\operatorname{arctg}x\quad(x\leqslant1),\qquad
y=\pi-2\operatorname{arctg}x\quad(x\geqslant1).В самой точке обе формулы дают π/2\pi/2. Производная левого продолжения равна 2/(1+12)=12/(1+1^2)=1, правого — −2/(1+12)=−1-2/(1+1^2)=-1. Их произведение равно −1-1, поэтому касательные перпендикулярны: θ=π/2\theta=\pi/2.
Демидович № 1064 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика