Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14

Демидович § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Условия, ответы и подробные решения задач 1591–1616

Задачи 1591–1616

26 из 26 с разбором

Задача 1591

Подобрать параметры kk и bb в прямойy=kx+by=kx+bтак, чтобы она имела с кривойy=x3−3x2+2y=x^3-3x^2+2касание порядка выше первого.

Задача 1592

При каком выборе коэффициентов aa, bb и cc параболаy=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cимеет в точке x=x0x=x_0 касание 2-го порядка с кривой y=exy=e^x?

Задача 1593

Какой порядок касания с осью OxOx имеют в точке x=0x=0 кривые:а) y=1−cos⁡x;б) y=tg⁡x−sin⁡x;\text{а) }y=1-\cos x;\qquad \text{б) }y=\tg x-\sin x;в) y=ex−(1+x+x22)?\text{в) }y=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)?

Задача 1594

Доказать, что кривая y=e−1/x2y=e^{-1/x^2} при x≠0x\ne0 и y=0y=0 при x=0x=0 имеет в точке x=0x=0 с осью OxOx касание бесконечно большого порядка.

Задача 1595

Найти радиус и центр кривизны гиперболыxy=1xy=1в точках: а) M(1;1)M(1;1); б) N(100;0,01)N(100;0{,}01).
Определить радиусы кривизны следующих кривых:

Задача 1596

y2=2pxy^2=2px (парабола).

Задача 1597

x2a2+y2b2=1\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a≥b>0)(a\ge b>0) (эллипс).

Задача 1598

x2a2−y2b2=1\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (гипербола).

Задача 1599

x2/3+y2/3=a2/3x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3} (астроида).

Задача 1600

x=acos⁡tx=a\cos t, y=bsin⁡ty=b\sin t (эллипс).

Задача 1601

x=a(t−sin⁡t)x=a(t-\sin t), y=a(1−cos⁡t)y=a(1-\cos t) (циклоида).

Задача 1602

x=a(cos⁡t+tsin⁡t)x=a(\cos t+t\sin t), y=a(sin⁡t−tcos⁡t)y=a(\sin t-t\cos t) (эвольвента круга).

Задача 1603

Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядкаy2=2px−qx2y^2=2px-qx^2пропорционален кубу отрезка нормали.

Задача 1604

Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны):

Задача 1605

r=aφr=a\varphi (спираль Архимеда).

Задача 1606

r=aemφr=ae^{m\varphi} (логарифмическая спираль).

Задача 1607

r=a(1+cos⁡φ)r=a(1+\cos\varphi) (кардиоида).

Задача 1608

r2=a2cos⁡2φr^2=a^2\cos2\varphi (лемниската).

Задача 1609

На кривой y=ln⁡xy=\ln x найти точку, кривизна которой наибольшая.

Задача 1610

Максимальная кривизна кубической параболы y=kx36\displaystyle y=\frac{kx^3}{6} (0≤x<+∞, k>0)(0\le x<+\infty,\ k>0) равна 11000\displaystyle\frac{1}{1000}. Найти точку xx, в которой достигается эта максимальная кривизна.
Составить уравнения эволюты кривых:

Задача 1611

y2=2pxy^2=2px (парабола).

Задача 1612

x2a2+y2b2=1\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (эллипс).

Задача 1613

x2/3+y2/3=a2/3x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3} (астроида).

Задача 1614

x=aln⁡a+a2−y2y−a2−y2\displaystyle x=a\ln\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}-\sqrt{a^2-y^2} (трактриса).

Задача 1615

r=aemφr=ae^{m\varphi} (логарифмическая спираль).

Задача 1616

Доказать, что эволюта циклоидыx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),\qquad y=a(1-\cos t)есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.