Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1602

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

x=a(\cos t+t\sin t)

y=a(\sin t-t\cos t)

(эвольвента круга).

Ответ:

R(t)=a|t|, \qquad t\ne0

Для обычной ветви эвольвенты

R(t)=at, \qquad t>0

В начальной точке обычная формула кривизны неприменима, причём

\lim_{t\to0}R(t)=0

Решение

Для параметрически заданной кривой используем формулу

R= \dfrac{\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}} {\left|x'y''-y'x''\right|}

Считая

a>0

, найдём производные по параметру

t

\begin{aligned} x'&=at\cos t, &\qquad y'&=at\sin t\\ x''&=a(\cos t-t\sin t), & y''&=a(\sin t+t\cos t)\end{aligned}

Следовательно,

(x')^2+(y')^2=a^2t^2

Кроме того,

\begin{aligned} x'y''-y'x'' &=a^2t\bigl(\cos t(\sin t+t\cos t)- \sin t(\cos t-t\sin t)\bigr)=\\ &=a^2t^2\end{aligned}

Поэтому при

t\ne0

\begin{aligned} R(t) &=\dfrac{(a^2t^2)^{\frac{3}{2}}}{a^2t^2}=a|t|\end{aligned}

В начальной точке

t=0

параметризация нерегулярна, поскольку

x'=y'=0

. При

t\to0

радиус кривизны стремится к нулю. Для обычной ветви эвольвенты, задаваемой при

t\geqslant0

, получаем

R=at