Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1609

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

На кривой

y=\ln x

найти точку, кривизна которой наибольшая.

Ответ:

M\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}; -\dfrac{1}{2}\ln 2 \right), \qquad \kappa_{\max}=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}

Решение

Функция определена при

x>0

.
Кривизна её графика вычисляется по формуле

\kappa(x)=\dfrac{|y''|}{\bigl(1+(y')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}

Для

y=\ln x

y'=\dfrac{1}{x}, \qquad y''=-\dfrac{1}{x^2}

Поэтому при

x>0

\begin{aligned} \kappa(x) &=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}} {\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

Найдём производную кривизны:

\kappa'(x)=\dfrac{1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{5}{2}}}

При

0<x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}

производная положительна, а при

x>\dfrac{1}{\sqrt{2}}

отрицательна. Кроме того,

\lim_{x\to0^+}\kappa(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\kappa(x)=0

Следовательно, единственный глобальный максимум кривизны достигается при

x_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Ордината соответствующей точки равна

y_0=\ln\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{2}\ln 2

Значение максимальной кривизны:

\kappa_{\max}=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}