Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1614

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

\displaystyle x=a\ln\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}-\sqrt{a^2-y^2}

(трактриса).

Ответ:

Y=a\cosh\dfrac{X}{a}, \qquad X>0

Точка

(0,a)

принадлежит замыканию эволюты как предельная точка.

Решение

Положим

y=a\sin t

, где

0<t<\dfrac{\pi}{2}

. Тогда

\sqrt{a^2-y^2}=a\cos t

и исходная ветвь трактрисы получает параметрическое задание

x=a\left(\ln\ctg\dfrac{t}{2}-\cos t\right), \qquad y=a\sin t

Для производной

x

потребуется равенство, которое получается дифференцированием разности логарифмов

\ln\cos\frac{t}{2}-\ln\sin\frac{t}{2}

\left(\ln\ctg\dfrac{t}{2}\right)'=-\dfrac{1}{\sin t}

После дифференцирования

-\cos t

складываем результаты и приводим к общему знаменателю. Получаем

\begin{aligned} x'&=-a\dfrac{\cos^2t}{\sin t}, &\qquad y'&=a\cos t\\ x''&=a\dfrac{\cos t(1+\sin^2t)}{\sin^2t}, & y''&=-a\sin t\end{aligned}

Отсюда

(x')^2+(y')^2=\dfrac{a^2\cos^2t}{\sin^2t}

x'y''-y'x''=-\dfrac{a^2\cos^2t}{\sin^2t}

Таким образом, в регулярных точках отношение этих выражений равно

-1

. Подставляя его в формулы координат центра кривизны, получаем

X=x+y'=a\ln\ctg\dfrac{t}{2}, \qquad Y=y-x'=\dfrac{a}{\sin t}

Обозначим

u=\ln\ctg\dfrac{t}{2}=\dfrac{X}{a}

Так как

\ctg\dfrac{t}{2}=e^u

, то

\sin t=\dfrac{2\tg\frac{t}{2}}{1+\tg^2\frac{t}{2}} =\dfrac{2e^{-u}}{1+e^{-2u}}

После умножения числителя и знаменателя последней дроби на

e^u

имеем

\sin t=\dfrac{2}{e^u+e^{-u}}=\dfrac{1}{\cosh u}

Следовательно,

Y=a\cosh u=a\cosh\dfrac{X}{a}

При

0<t<\dfrac{\pi}{2}

имеем

X>0

. При

t\to\dfrac{\pi}{2}-0

получаем

X\to0, \qquad Y\to a

Таким образом, точка

(0,a)

не принадлежит регулярной части эволюты и является лишь её предельной точкой.