Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1615

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

Задача 1615

r=aemφr=ae^{m\varphi} (логарифмическая спираль).
Ответ:ρ=a∣m∣e−∣m∣π2emΦ(m≠0)\rho=a|m|e^{-\frac{|m|\pi}{2}}e^{m\Phi}
\qquad (m\ne0)При m>0m>0 это равенство принимает вид ρ=ame−mπ2emΦ\rho=am e^{-\frac{m\pi}{2}}e^{m\Phi}. При m=0m=0 эволюта вырождается в точку ρ=0\rho=0.

Решение

Считаем a>0a>0 и переходим от полярного уравнения к параметрическому заданию, принимая φ\varphi за параметр:x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ,r=aemφx=r\cos\varphi,
\qquad
y=r\sin\varphi,
\qquad
r=ae^{m\varphi}Поскольку r′=mrr'=mr, имеемx′=r(mcos⁡φ−sin⁡φ),y′=r(msin⁡φ+cos⁡φ)x′′=r((m2−1)cos⁡φ−2msin⁡φ),y′′=r((m2−1)sin⁡φ+2mcos⁡φ)\begin{aligned}
x'&=r(m\cos\varphi-\sin\varphi),
&\qquad
y'&=r(m\sin\varphi+\cos\varphi)\\
x''&=r\bigl((m^2-1)\cos\varphi-2m\sin\varphi\bigr),
&
y''&=r\bigl((m^2-1)\sin\varphi+2m\cos\varphi\bigr)
\end{aligned}После упрощения получаем(x′)2+(y′)2=r2(1+m2),x′y′′−y′x′′=r2(1+m2)(x')^2+(y')^2=r^2(1+m^2),
\qquad
x'y''-y'x''=r^2(1+m^2)Поэтому координаты центра кривизны равныX=x−y′=−mrsin⁡φY=y+x′=mrcos⁡φ\begin{aligned}
X&=x-y'=-mr\sin\varphi\\
Y&=y+x'=mr\cos\varphi
\end{aligned}Если m≠0m\ne0, а ρ\rho и Φ\Phi — полярные координаты точки эволюты, тоρ=∣m∣r=a∣m∣emφ,Φ=φ+sgn⁡(m)π2\rho=|m|r=a|m|e^{m\varphi},
\qquad
\Phi=\varphi+\operatorname{sgn}(m)\dfrac{\pi}{2}Исключая параметр φ\varphi, находимρ=a∣m∣e−∣m∣π2emΦ\rho=a|m|e^{-\frac{|m|\pi}{2}}e^{m\Phi}Следовательно, при m≠0m\ne0 эволюта логарифмической спирали также является логарифмической спиралью. Если m=0m=0, исходная кривая является окружностью r=ar=a, и её эволюта вырождается в начало координат.
Демидович № 1615 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика