Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1604

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

Задача 1604

Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах.
Ответ:R=(r2+(r′)2)32∣r2+2(r′)2−rr′′∣R=
\dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}
{\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}Здесь штрихи обозначают производные по φ\varphi. Формула применяется при r2+(r′)2≠0r^2+(r')^2\ne0. Если в такой регулярной точке знаменатель обращается в нуль, то R=+∞R=+\infty.

Решение

Пусть полярная кривая задана уравнениемr=r(φ)r=r(\varphi)Перейдём к параметрическому заданиюx=rcos⁡φ,y=rsin⁡φx=r\cos\varphi,
\qquad
y=r\sin\varphiЗдесь и далее штрихи обозначают производные по φ\varphi. Имеемx′=r′cos⁡φ−rsin⁡φy′=r′sin⁡φ+rcos⁡φ\begin{aligned}
x'&=r'\cos\varphi-r\sin\varphi\\
y'&=r'\sin\varphi+r\cos\varphi
\end{aligned}Отсюда(x′)2+(y′)2=r2+(r′)2(x')^2+(y')^2=r^2+(r')^2Вторые производные равныx′′=(r′′−r)cos⁡φ−2r′sin⁡φy′′=(r′′−r)sin⁡φ+2r′cos⁡φ\begin{aligned}
x''&=(r''-r)\cos\varphi-2r'\sin\varphi\\
y''&=(r''-r)\sin\varphi+2r'\cos\varphi
\end{aligned}Подставим найденные производные в определитель и раскроем скобки:x′y′′−y′x′′=(r′cos⁡φ−rsin⁡φ)((r′′−r)sin⁡φ+2r′cos⁡φ)−(r′sin⁡φ+rcos⁡φ)((r′′−r)cos⁡φ−2r′sin⁡φ)==2(r′)2−r(r′′−r)=r2+2(r′)2−rr′′\begin{aligned}
x'y''-y'x''
&=(r'\cos\varphi-r\sin\varphi)
\bigl((r''-r)\sin\varphi+2r'\cos\varphi\bigr)\\
&\quad-(r'\sin\varphi+r\cos\varphi)
\bigl((r''-r)\cos\varphi-2r'\sin\varphi\bigr)=\\
&=2(r')^2-r(r''-r)=r^2+2(r')^2-rr''
\end{aligned}Подставим эти выражения в формулу радиуса кривизны параметрической кривой:R=(r2+(r′)2)32∣r2+2(r′)2−rr′′∣R=
\dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}
{\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}Формула применяется в регулярных точках, где r2+(r′)2≠0r^2+(r')^2\ne0.
В такой регулярной точке условиеr2+2(r′)2−rr′′=0r^2+2(r')^2-rr''=0означает, что кривизна равна нулю и R=+∞R=+\infty.
Демидович № 1604 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика