Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1613

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

Задача 1613

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}

(астроида).

Ответ:

(X+Y)^{\frac{2}{3}}+(X-Y)^{\frac{2}{3}}=2a^{\frac{2}{3}}

Решение

Считая

a>0

, параметризуем астроиду:

x=a\cos^3t, \qquad y=a\sin^3t

Имеем

\begin{aligned} x'&=-3a\cos^2t\sin t, &\qquad y'&=3a\sin^2t\cos t\\ x''&=3a\cos t\bigl(2\sin^2t-\cos^2t\bigr), & y''&=3a\sin t\bigl(2\cos^2t-\sin^2t\bigr)\end{aligned}

В регулярных точках астроиды

(x')^2+(y')^2=9a^2\sin^2t\cos^2t

x'y''-y'x''=-9a^2\sin^2t\cos^2t

Следовательно, отношение этих выражений равно

-1

там, где

\sin t\cos t\ne0

. В вершинах астроиды обе первые производные равны нулю, и формулу центра там непосредственно применять нельзя. На регулярной части по формулам координат центра кривизны получаем

\begin{aligned} X&=x+y'=a\cos t\bigl(3-2\cos^2t\bigr)\\ Y&=y-x'=a\sin t\bigl(3-2\sin^2t\bigr)\end{aligned}

Сложим и вычтем полученные равенства. Например,

\begin{aligned} X+Y &=a\bigl(3(\cos t+\sin t) -2(\cos^3t+\sin^3t)\bigr)=\\ &=a(\cos t+\sin t)^3\end{aligned}

В последнем равенстве использовали

\sin^2t+\cos^2t=1

; разность выводится так же. Находим

X+Y=a(\cos t+\sin t)^3, \qquad X-Y=a(\cos t-\sin t)^3

Поэтому

\begin{aligned} (X+Y)^{\frac{2}{3}}+(X-Y)^{\frac{2}{3}} &=a^{\frac{2}{3}} \bigl((\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2\bigr)=\\ &=2a^{\frac{2}{3}}\end{aligned}

Полученное уравнение распространяется по непрерывности и на предельные положения центров кривизны при приближении к вершинам астроиды. Степени

\frac{2}{3}

понимаются как квадраты действительных кубических корней.