Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1601

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

Задача 1601

x=a(t-\sin t)

y=a(1-\cos t)

(циклоида).

Ответ:

R(t)=4a\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|, \qquad t\ne2\pi n, \quad n\in\mathbb Z

В точках возврата обычная формула кривизны неприменима, причём

\lim_{t\to2\pi n}R(t)=0, \qquad n\in\mathbb Z

Решение

Для параметрически заданной кривой радиус кривизны в регулярной точке вычисляется по формуле

R= \dfrac{\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}} {\left|x'y''-y'x''\right|}

Считая

a>0

, найдём производные по параметру

t

x'=a(1-\cos t), \qquad y'=a\sin t, \qquad x''=a\sin t, \qquad y''=a\cos t

Тогда

\begin{aligned} (x')^2+(y')^2 &=a^2\bigl((1-\cos t)^2+\sin^2 t\bigr)=\\ &=2a^2(1-\cos t)=4a^2\sin^2\dfrac{t}{2}\end{aligned}

\begin{aligned} \left|x'y''-y'x''\right| &=a^2\left|(1-\cos t)\cos t-\sin^2 t\right|=\\ &=a^2|\cos t-1|=2a^2\sin^2\dfrac{t}{2}\end{aligned}

При

t\ne2\pi n

n\in\mathbb Z

, параметризация регулярна, поэтому

\begin{aligned} R(t) &=\dfrac{\left(4a^2\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^{\frac{3}{2}}} {2a^2\sin^2\dfrac{t}{2}}=4a\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|\end{aligned}

В точках

t=2\pi n

обе первые производные обращаются в нуль: это точки возврата циклоиды, в которых обычная формула кривизны неприменима. При приближении к ним радиус кривизны стремится к нулю. На одной арке

0<t<2\pi

имеем

R=4a\sin\dfrac{t}{2}