Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1593

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1593

Какой порядок касания с осью OxOx имеют в точке x=0x=0 кривые:а) y=1−cos⁡x;б) y=tg⁡x−sin⁡x;\text{а) }y=1-\cos x;\qquad \text{б) }y=\tg x-\sin x;в) y=ex−(1+x+x22)?\text{в) }y=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)?
Вывода) Первый порядок; б) второй порядок; в) второй порядок.

Решение

Ось OxOx задаётся функцией y=0y=0, все производные которой равны
нулю.

а) Для функции f(x)=1−cos⁡xf(x)=1-\cos xf(0)=0,f′(0)=0,f′′(0)=1≠0f(0)=0,
\qquad
f'(0)=0,
\qquad
f''(0)=1\ne0Значения функции и её первой производной совпадают с соответствующими
значениями для оси OxOx, а вторые производные различны.

Ответ. Кривая y=1−cos⁡xy=1-\cos x имеет с осью OxOx в точке
x=0x=0 касание первого порядка.

\textbf{б)} Используем разложения при x→0x\to0:tg⁡x=x+x33+O(x5),sin⁡x=x−x36+O(x5)\tg x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5),
\qquad
\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)Поэтомуtg⁡x−sin⁡x=x32+O(x5)\tg x-\sin x=\frac{x^3}{2}+O(x^5)Функция и её первые две производные в нуле равны нулю, а третья
производная равна 3≠03\ne0.

Ответ. Кривая y=tg⁡x−sin⁡xy=\tg x-\sin x имеет с осью OxOx в точке
x=0x=0 касание второго порядка.

в) По формуле Тейлораex=1+x+x22+x36+O(x4)e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)Следовательно,ex−(1+x+x22)=x36+O(x4)\begin{aligned}
e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right) &=\frac{x^3}{6}+O(x^4)
\end{aligned}Первые две производные разности в нуле равны нулю, а третья
производная равна 1≠01\ne0.
Демидович № 1593 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика