Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1598

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

(гипербола).

Ответ:

R=\dfrac{\left(\varepsilon^2x^2-a^2\right)^{3/2}}{ab}

, где

\varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a

Решение

Считаем, что

a>0

b>0

, как обычно для канонического уравнения
гиперболы.

Для правой ветви возьмём параметризацию

x=a\cosh t \qquad y=b\sinh t

Тогда

x'=a\sinh t \qquad y'=b\cosh t

x''=a\cosh t \qquad y''=b\sinh t

Отсюда

|x'y''-y'x''|=ab

x'^2+y'^2=a^2\sinh^2t+b^2\cosh^2t

Обозначим

\varepsilon=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}a

Поскольку

x=a\cosh t

, имеем

\begin{aligned} a^2\sinh^2t+b^2\cosh^2t &=x^2-a^2+\frac{b^2}{a^2}x^2=\\ &=\varepsilon^2x^2-a^2\end{aligned}

Следовательно,

R=\frac{\left(\varepsilon^2x^2-a^2\right)^{3/2}}{ab}

Для левой ветви получается та же формула, поскольку она зависит от

x^2