Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1610

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Максимальная кривизна кубической параболы

\displaystyle y=\frac{kx^3}{6}

(0\le x<+\infty,\ k>0)

равна

\displaystyle\frac{1}{1000}

. Найти точку

x

, в которой достигается эта максимальная кривизна.

Ответ:Максимальная кривизна достигается при

x=\dfrac{5000}{3\sqrt{6}}=\dfrac{2500\sqrt{6}}{9}

Решение

Для

y=\dfrac{kx^3}{6}

при

x\geqslant0

k>0

имеем

y'=\dfrac{kx^2}{2}, \qquad y''=kx

Следовательно, кривизна равна

\kappa(x)= \dfrac{kx}{\left(1+\dfrac{k^2x^4}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}

Её производная имеет вид

\kappa'(x)= \dfrac{k\left(1-\dfrac{5k^2x^4}{4}\right)} {\left(1+\dfrac{k^2x^4}{4}\right)^{\frac{5}{2}}}

Знаменатель положителен, поэтому кривизна возрастает до единственной положительной критической точки и затем убывает. Максимум достигается при

1-\dfrac{5k^2x_0^4}{4}=0

Отсюда

k^2x_0^4=\dfrac{4}{5}, \qquad kx_0^2=\dfrac{2}{\sqrt{5}}

В этой точке

\begin{aligned} \kappa_{\max} &=\dfrac{kx_0}{\left(1+\dfrac{1}{5}\right)^{\frac{3}{2}}}=\\ &=\dfrac{2}{\sqrt{5}\,x_0}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\frac{3}{2}} =\dfrac{5}{3\sqrt{6}\,x_0}\end{aligned}

По условию

\kappa_{\max}=\dfrac{1}{1000}

. Поэтому

\dfrac{5}{3\sqrt{6}\,x_0}=\dfrac{1}{1000}

Следовательно,

x_0=\dfrac{5000}{3\sqrt{6}}=\dfrac{2500\sqrt{6}}{9}