Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1612

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

Задача 1612

x2a2+y2b2=1\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (эллипс).
Ответ:X=a2−b2acos⁡3t,Y=b2−a2bsin⁡3tX=\dfrac{a^2-b^2}{a}\cos^3t,
\qquad
Y=\dfrac{b^2-a^2}{b}\sin^3tПри a>b>0a>b>0:(aXa2−b2)23+(bYa2−b2)23=1\left(\dfrac{aX}{a^2-b^2}\right)^{\frac{2}{3}}+
\left(\dfrac{bY}{a^2-b^2}\right)^{\frac{2}{3}}=1Если b>ab>a, получается та же формула при понимании степеней 23\frac{2}{3} как квадратов действительных кубических корней. При a=ba=b эволюта является точкой (0,0)(0,0).

Решение

Сначала считаем a>b>0a>b>0 и используем параметризацию эллипса. Если b>ab>a, достаточно поменять местами координатные оси; случай a=ba=b рассмотрим отдельно.x=acos⁡t,y=bsin⁡tx=a\cos t,
\qquad
y=b\sin tДля центра кривизны параметрической кривой имеемX=x−y′((x′)2+(y′)2)x′y′′−y′x′′,Y=y+x′((x′)2+(y′)2)x′y′′−y′x′′X=x-\dfrac{y'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''},
\qquad
Y=y+\dfrac{x'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''}Множитель при нормальном векторе (−y′,x′)(-y',x') равен отношению квадрата скорости к определителю x′y′′−y′x′′x'y''-y'x''. Проверим, что для эллипса этот определитель не равен нулю.
В данном случаеx′=−asin⁡t,y′=bcos⁡tx′′=−acos⁡t,y′′=−bsin⁡t\begin{aligned}
x'&=-a\sin t,
&\qquad
y'&=b\cos t\\
x''&=-a\cos t,
&
y''&=-b\sin t
\end{aligned}Поэтому(x′)2+(y′)2=a2sin⁡2t+b2cos⁡2t,x′y′′−y′x′′=ab(x')^2+(y')^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t,
\qquad
x'y''-y'x''=abПодставляя найденные выражения, получаемX=acos⁡t−cos⁡ta(a2sin⁡2t+b2cos⁡2t)==cos⁡ta(a2(1−sin⁡2t)−b2cos⁡2t)==a2−b2acos⁡3t\begin{aligned}
X
&=a\cos t-\dfrac{\cos t}{a}
\bigl(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\bigr)=\\
&=\dfrac{\cos t}{a}
\bigl(a^2(1-\sin^2t)-b^2\cos^2t\bigr)=\\
&=\dfrac{a^2-b^2}{a}\cos^3t
\end{aligned}иY=bsin⁡t−sin⁡tb(a2sin⁡2t+b2cos⁡2t)==b2−a2bsin⁡3t\begin{aligned}
Y
&=b\sin t-\dfrac{\sin t}{b}
\bigl(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\bigr)=\\
&=\dfrac{b^2-a^2}{b}\sin^3t
\end{aligned}Обозначим c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. Тогдаcos⁡2t=(aXc2)23,sin⁡2t=(bYc2)23\cos^2t=\left(\dfrac{aX}{c^2}\right)^{\frac{2}{3}},
\qquad
\sin^2t=\left(\dfrac{bY}{c^2}\right)^{\frac{2}{3}}Из равенства cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2t+\sin^2t=1 следует уравнение эволюты(aXa2−b2)23+(bYa2−b2)23=1\left(\dfrac{aX}{a^2-b^2}\right)^{\frac{2}{3}}+
\left(\dfrac{bY}{a^2-b^2}\right)^{\frac{2}{3}}=1Степени 23\frac{2}{3} здесь понимаются как квадраты действительных кубических корней. Если a=ba=b, эллипс является окружностью, а его эволюта вырождается в точку X=Y=0X=Y=0.
Демидович № 1612 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика