Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1608

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны):

Задача 1608

r2=a2cos⁡2φr^2=a^2\cos2\varphi (лемниската).
Ответ:В регулярных точках лемнискатыR=a23∣r∣R=\dfrac{a^2}{3|r|}При выборе r>0r>0 это равносильно формулеR(φ)=a3cos⁡2φR(\varphi)=\dfrac{a}{3\sqrt{\cos 2\varphi}}При приближении к началу координат r→0r\to0 и R→+∞R\to+\infty.

Решение

Для полярной кривой используем формулуR=(r2+(r′)2)32∣r2+2(r′)2−rr′′∣R=
\dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}
{\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}Считая a>0a>0, рассмотрим регулярную часть одной дуги лемнискаты, на которой r>0r>0 и cos⁡2φ>0\cos 2\varphi>0. Дифференцируя равенство r2=a2cos⁡2φr^2=a^2\cos 2\varphi, получаем2rr′=−2a2sin⁡2φ2rr'=-2a^2\sin 2\varphiТак как a2cos⁡2φ=r2a^2\cos 2\varphi=r^2, имеемr′=−a2sin⁡2φr=−rtg⁡2φr'=-\dfrac{a^2\sin 2\varphi}{r}=-r\tg 2\varphiПосле ещё одного дифференцированияr′′=−r′tg⁡2φ−2rcos⁡22φ==−r(2+tg⁡22φ)\begin{aligned}
r''
&=-r'\tg 2\varphi-\dfrac{2r}{\cos^2 2\varphi}=\\
&=-r\bigl(2+\tg^2 2\varphi\bigr)
\end{aligned}Следовательно,r2+(r′)2=r2(1+tg⁡22φ)=r2cos⁡22φr^2+(r')^2=r^2\bigl(1+\tg^2 2\varphi\bigr)
=\dfrac{r^2}{\cos^2 2\varphi}иr2+2(r′)2−rr′′=3r2(1+tg⁡22φ)=3r2cos⁡22φ\begin{aligned}
r^2+2(r')^2-rr''
&=3r^2\bigl(1+\tg^2 2\varphi\bigr)
=\dfrac{3r^2}{\cos^2 2\varphi}
\end{aligned}ПоэтомуR=r3cos⁡2φ=a23r=a3cos⁡2φ\begin{aligned}
R
&=\dfrac{r}{3\cos 2\varphi}
=\dfrac{a^2}{3r}
=\dfrac{a}{3\sqrt{\cos 2\varphi}}
\end{aligned}На остальных дугах результат зависит только от расстояния ∣r∣|r| до начала координат.
При приближении к началу координатr→0r\to0поэтому кривизна стремится к нулю, а радиус кривизны — к бесконечности.
Демидович № 1608 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика