Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1603

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка

y^2=2px-qx^2

пропорционален кубу отрезка нормали.

Доказано:При

p\ne0

y\ne0

, если

N

— длина отрезка нормали, то

R=\dfrac{N^3}{p^2}

Доказательство

Рассмотрим невырожденную линию, поэтому

p\ne0

. Пусть

N

обозначает длину отрезка нормали, заключённого между точкой

M(x,y)

кривой и осью

Ox

.

В точке, где

y\ne0

, продифференцируем уравнение кривой по

x

2yy'=2p-2qx

Отсюда

y'=\dfrac{p-qx}{y}

После второго дифференцирования получаем

(y')^2+yy''=-q

Следовательно,

y''=-\dfrac{q+(y')^2}{y}

Используя исходное равенство

y^2=2px-qx^2

, упростим числитель:

\begin{aligned} q+(y')^2 &=\dfrac{qy^2+(p-qx)^2}{y^2}=\\ &=\dfrac{q(2px-qx^2)+p^2-2pqx+q^2x^2}{y^2} =\dfrac{p^2}{y^2}\end{aligned}

Поэтому

y''=-\dfrac{p^2}{y^3}

Направляющим вектором нормали служит вектор

(-y',1)

. Соответствующий единичный вектор имеет вид

\boldsymbol n=\dfrac{(-y',1)}{\sqrt{1+(y')^2}}

Абсолютная величина его вертикальной составляющей равна

\dfrac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}

Вертикальная составляющая отрезка нормали равна

|y|

.
Следовательно, длина отрезка нормали равна

N=|y|\sqrt{1+(y')^2}

Радиус кривизны явно заданной кривой вычисляется по формуле

R=\dfrac{\bigl(1+(y')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}{|y''|}

Подставляя найденное выражение для второй производной, получаем

\begin{aligned} R &=\dfrac{|y|^3\bigl(1+(y')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}{p^2}=\\ &=\dfrac{N^3}{p^2}\end{aligned}

Коэффициент

\dfrac{1}{p^2}

не зависит от положения точки на кривой.

Следовательно, во всех рассматриваемых точках, где

y\ne0

, радиус кривизны пропорционален кубу длины отрезка нормали.

Что и требовалось доказать