Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1606

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны):

r=ae^{m\varphi}

(логарифмическая спираль).

Ответ:

R(\varphi)=ae^{m\varphi}\sqrt{1+m^2}

Решение

Для полярной кривой используем формулу

R= \dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}} {\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}

Для логарифмической спирали

r=ae^{m\varphi}

при

a>0

m>0

имеем

r'=mr, \qquad r''=m^2r

Тогда

r^2+(r')^2=r^2(1+m^2)

\begin{aligned} r^2+2(r')^2-rr'' &=r^2+2m^2r^2-m^2r^2=r^2(1+m^2)\end{aligned}

Так как

a>0

, величина

r=ae^{m\varphi}

положительна: параметризация регулярна при всех

\varphi

.
Следовательно,

\begin{aligned} R &=\dfrac{\bigl(r^2(1+m^2)\bigr)^{\frac{3}{2}}} {r^2(1+m^2)}=\\ &=r\sqrt{1+m^2}=ae^{m\varphi}\sqrt{1+m^2}\end{aligned}