Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1611

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

y^2=2px

(парабола).

Ответ:

27pY^2=8(X-p)^3

Решение

Для параметрически заданной регулярной кривой координаты центра кривизны имеют вид

(X,Y)=(x,y)+ \dfrac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-y'x''}(-y',x')

Вектор

(-y',x')

перпендикулярен касательной

(x',y')

; раскрывая координаты этой формулы, получаем

X=x-\dfrac{y'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''}, \qquad Y=y+\dfrac{x'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''}

Считая

p>0

, положим

t=\frac{y}{p}

. Тогда

y=pt

, а из уравнения параболы

y^2=2px

следует

x=\frac{p}{2}t^2

. Таким образом, параметризация имеет вид

x=\dfrac{p}{2}t^2, \qquad y=pt

Тогда

x'=pt, \qquad y'=p, \qquad x''=p, \qquad y''=0

Следовательно,

(x')^2+(y')^2=p^2(1+t^2), \qquad x'y''-y'x''=-p^2

Подставляя эти выражения в формулы для центра кривизны, получаем параметрическое уравнение эволюты:

X=p+\dfrac{3p}{2}t^2, \qquad Y=-pt^3

Из первого равенства

t^2=\dfrac{2(X-p)}{3p}

Поэтому после возведения во вторую и третью степени соответственно имеем

Y^2=p^2t^6, \qquad (X-p)^3=\dfrac{27p^3}{8}t^6

Исключая параметр

t

, получаем уравнение эволюты

27pY^2=8(X-p)^3