Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1595

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти радиус и центр кривизны гиперболы

xy=1

в точках: а)

M(1;1)

; б)

N(100;0{,}01)

Ответ:а)

R_M=\sqrt2

, центр кривизны

C_M(2;2)

.

б)

R_N=\dfrac{(100000001)^{3/2}}{2000000}\approx500000{,}0075

, центр кривизны

C_N(150{,}0000005;500000{,}015)

Решение

На рассматриваемой ветви гиперболы

y=\frac1x \qquad x>0

Поэтому

y'=-\frac1{x^2} \qquad y''=\frac2{x^3}

Для графика

y=f(x)

радиус кривизны и координаты центра кривизны равны

R=\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}

\xi=x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''} \qquad \eta=y+\frac{1+y'^2}{y''}

Подставляя найденные производные, получаем

\begin{aligned} R(x) &=\frac{\left(1+\dfrac1{x^4}\right)^{3/2}} {\dfrac2{x^3}} =\frac{(x^4+1)^{3/2}}{2x^3}\end{aligned}

\begin{aligned} \xi(x) &=x-\frac{-\dfrac1{x^2}\left(1+\dfrac1{x^4}\right)} {\dfrac2{x^3}} =\frac{3x}{2}+\frac1{2x^3}\end{aligned}

\begin{aligned} \eta(x) &=\frac1x+\frac{1+\dfrac1{x^4}}{\dfrac2{x^3}} =\frac{x^3}{2}+\frac3{2x}\end{aligned}

а) В точке

M

имеем

x=1

. Следовательно,

R_M=\sqrt2

\xi_M=2 \qquad \eta_M=2

Ответ.

R_M=\sqrt2

, центр кривизны

C_M(2;2)

б) В точке

N

имеем

x=100

. Поэтому

\begin{aligned} R_N &=\frac{(100^4+1)^{3/2}}{2\cdot100^3} =\frac{(100000001)^{3/2}}{2000000} \approx500000{,}0075\end{aligned}

Координаты центра кривизны равны

\begin{aligned} \xi_N &=150+\frac1{2000000} =150{,}0000005\end{aligned}

\begin{aligned} \eta_N &=500000+\frac3{200} =500000{,}015\end{aligned}