Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1597

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

(a\ge b>0)

(эллипс).

Ответ:

R=\dfrac{\left(a^2-\varepsilon^2x^2\right)^{3/2}}{ab}

, где

\varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a

Решение

Параметризуем эллипс:

x=a\cos t \qquad y=b\sin t

Имеем

x'=-a\sin t \qquad y'=b\cos t

x''=-a\cos t \qquad y''=-b\sin t

Следовательно,

x'^2+y'^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t

|x'y''-y'x''|=ab

По формуле радиуса кривизны параметрической кривой

R=\frac{\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)^{3/2}}{ab}

Введём эксцентриситет эллипса

\varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}

Так как

x=a\cos t

, то

\begin{aligned} a^2\sin^2t+b^2\cos^2t &=a^2-(a^2-b^2)\cos^2t=\\ &=a^2-\varepsilon^2x^2\end{aligned}

Поэтому

R=\frac{\left(a^2-\varepsilon^2x^2\right)^{3/2}}{ab}