Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1616

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Составить уравнения эволюты кривых:

Задача 1616

Доказать, что эволюта циклоидыx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),\qquad y=a(1-\cos t)есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.
Доказано:X=a(t+sin⁡t),Y=−a(1−cos⁡t)X=a(t+\sin t),
\qquad
Y=-a(1-\cos t)После замены τ=t+π\tau=t+\pi:X=a(τ−sin⁡τ)−aπ,Y=a(1−cos⁡τ)−2aX=a(\tau-\sin\tau)-a\pi,
\qquad
Y=a(1-\cos\tau)-2aСледовательно, эволюта является циклоидой, перенесённой на вектор (−aπ,−2a)(-a\pi,-2a).

Доказательство

Для координат центра кривизны параметрической кривой используем формулыX=x−y′((x′)2+(y′)2)x′y′′−y′x′′,Y=y+x′((x′)2+(y′)2)x′y′′−y′x′′X=x-\dfrac{y'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''},
\qquad
Y=y+\dfrac{x'\bigl((x')^2+(y')^2\bigr)}{x'y''-y'x''}Для циклоидыx′=a(1−cos⁡t),y′=asin⁡t,x′′=asin⁡t,y′′=acos⁡tx'=a(1-\cos t),
\qquad
y'=a\sin t,
\qquad
x''=a\sin t,
\qquad
y''=a\cos tПри t≠2πnt\ne2\pi n, n∈Zn\in\mathbb Z, имеем(x′)2+(y′)2=2a2(1−cos⁡t)(x')^2+(y')^2=2a^2(1-\cos t)иx′y′′−y′x′′=−a2(1−cos⁡t)x'y''-y'x''=-a^2(1-\cos t)Следовательно,(x′)2+(y′)2x′y′′−y′x′′=−2\dfrac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-y'x''}=-2Координаты центра кривизны равныX=x+2y′=a(t+sin⁡t),Y=y−2x′=−a(1−cos⁡t)X=x+2y'=a(t+\sin t),
\qquad
Y=y-2x'=-a(1-\cos t)Сделаем замену параметра τ=t+π\tau=t+\pi. Тогда sin⁡t=−sin⁡τ\sin t=-\sin\tau, cos⁡t=−cos⁡τ\cos t=-\cos\tau, иX=a(τ−sin⁡τ)−aπY=a(1−cos⁡τ)−2a\begin{aligned}
X&=a(\tau-\sin\tau)-a\pi\\
Y&=a(1-\cos\tau)-2a
\end{aligned}Это уравнения исходной циклоиды, перенесённой на вектор (−aπ,−2a)(-a\pi,-2a). В точках возврата формула центра кривизны неприменима, однако полученная эволюта продолжается в них по пределу.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1616 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика