Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1599

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}

(астроида).

Ответ:При

xy\ne0

R=3|axy|^{1/3}

В вершинах астроиды обычный радиус кривизны не определён, но при
приближении по регулярной части

R\to0

. Если радиус определяют
предельным образом, в вершинах его полагают равным нулю.

Решение

Считаем, что

a>0

, как обычно для канонического уравнения астроиды.

Параметрические уравнения астроиды имеют вид

x=a\cos^3t \qquad y=a\sin^3t

На регулярных участках кривой

x'=-3a\cos^2t\sin t \qquad y'=3a\sin^2t\cos t

Поэтому

x'^2+y'^2=9a^2\sin^2t\cos^2t

Прямое вычисление вторых производных даёт

|x'y''-y'x''|=9a^2\sin^2t\cos^2t

Следовательно,

\begin{aligned} R &=\frac{\left(9a^2\sin^2t\cos^2t\right)^{3/2}} {9a^2\sin^2t\cos^2t} =3a|\sin t\cos t|\end{aligned}

Из параметрических уравнений следует

|axy|^{1/3}=a|\sin t\cos t|

Поэтому при

xy\ne0

R=3|axy|^{1/3}

В вершинах астроиды

x'=y'=0

, поэтому обычная формула кривизны
неприменима и обычный радиус кривизны не определён. При приближении к
вершине по регулярной части кривой

R\to0

. Если радиус кривизны в
вершинах определяют предельным образом, его полагают равным нулю.