Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1592

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каком выборе коэффициентов

a

b

c

парабола

y=ax^2+bx+c

имеет в точке

x=x_0

касание 2-го порядка с кривой

y=e^x

Ответ:

a=\frac{e^{x_0}}2, \qquad b=e^{x_0}(1-x_0), \qquad c=e^{x_0}\left(1-x_0+\frac{x_0^2}{2}\right)

Решение

Обозначим параболу через

p(x)=ax^2+bx+c

. Для касания порядка не
ниже второго при

x=x_0

должны совпадать значения функций, а также
их первые и вторые производные:

p(x_0)=e^{x_0}, \qquad p'(x_0)=e^{x_0}, \qquad p''(x_0)=e^{x_0}

Так как

p'(x)=2ax+b, \qquad p''(x)=2a

из последнего равенства получаем

a=\frac{e^{x_0}}2

Затем из равенства первых производных находим

b=e^{x_0}-2ax_0=e^{x_0}(1-x_0)

Наконец, из равенства значений функций следует

c=e^{x_0}\left(1-x_0+\frac{x_0^2}{2}\right)

Найденную параболу можно записать в виде

p(x)=e^{x_0}\left( 1+(x-x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2} \right)

Её третья производная равна нулю, тогда как третья производная

e^x

в точке

x_0

равна

e^{x_0}\ne0

. Поэтому порядок
касания равен двум.