Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1600

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

x=a\cos t

y=b\sin t

(эллипс).

Ответ:

R=\dfrac{\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)^{3/2}}{ab}

; при

a\geqslant b>0

также

R=\dfrac{a^2}{b}\left(1-\varepsilon^2\cos^2t\right)^{3/2}

Решение

Считаем, что

a>0

b>0

, как обычно для полуосей эллипса.

Имеем

x'=-a\sin t \qquad y'=b\cos t

x''=-a\cos t \qquad y''=-b\sin t

Поэтому

x'^2+y'^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t

|x'y''-y'x''|=ab

Следовательно,

R=\frac{\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)^{3/2}}{ab}

Если

a\geqslant b>0

\varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a

то

\begin{aligned} a^2\sin^2t+b^2\cos^2t &=a^2\left(1-\varepsilon^2\cos^2t\right)\end{aligned}

и потому

R=\frac{a^2}{b}\left(1-\varepsilon^2\cos^2t\right)^{3/2}