Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1591

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Подобрать параметры

k

b

в прямой

y=kx+b

так, чтобы она имела с кривой

y=x^3-3x^2+2

касание порядка выше первого.

Ответ:

k=-3, \qquad b=3

Решение

Пусть касание происходит при

x=x_0

. Для касания порядка выше
первого должны совпадать значения функций, а также их первые и вторые
производные.

Для кривой

f(x)=x^3-3x^2+2

f'(x)=3x^2-6x, \qquad f''(x)=6x-6, \qquad f'''(x)=6

У прямой

g(x)=kx+b

g'(x)=k, \qquad g''(x)=0, \qquad g'''(x)=0

Из условия

f''(x_0)=g''(x_0)

получаем

6x_0-6=0, \qquad x_0=1

Тогда

k=f'(1)=-3

и из равенства

g(1)=f(1)=0

следует

-3+b=0, \qquad b=3

Третьи производные различны, поэтому прямая

y=-3x+3

касается
кривой при

x=1

, причём порядок касания равен точно двум.