Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1596

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны следующих кривых:

y^2=2px

(парабола).

Ответ:

R=p\left(1+\dfrac{2x}{p}\right)^{3/2}

Решение

Считаем, что

p>0

, как обычно для канонического уравнения параболы.
При

p=0

уравнение задаёт вырожденную кривую.

Используем параметризацию

x=\frac{p}{2}t^2 \qquad y=pt

Тогда

x'=pt \qquad y'=p \qquad x''=p \qquad y''=0

Для параметрически заданной кривой

R=\frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}} {|x'y''-y'x''|}

В нашем случае

x'^2+y'^2=p^2(1+t^2)

|x'y''-y'x''|=p^2

Поэтому с учётом условия

p>0

\begin{aligned} R &=\frac{\left(p^2(1+t^2)\right)^{3/2}}{p^2}=\\ &=|p|(1+t^2)^{3/2} =p(1+t^2)^{3/2}\end{aligned}

Из равенства

x=\dfrac{p}{2}t^2

следует

t^2=\frac{2x}{p}

Значит,

R=p\left(1+\frac{2x}{p}\right)^{3/2}