Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1605

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны):

r=a\varphi

(спираль Архимеда).

Ответ:

R(\varphi)=a\dfrac{(1+\varphi^2)^{\frac{3}{2}}}{\varphi^2+2}

Решение

Для полярной кривой используем формулу

R= \dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}} {\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}

Для архимедовой спирали при

a>0

r=a\varphi, \qquad r'=a, \qquad r''=0

При любом

\varphi

имеем

r^2+(r')^2=a^2(1+\varphi^2)>0

. Поэтому точка регулярна и формула радиуса применима.
Поэтому

\begin{aligned} R &=\dfrac{\bigl(a^2\varphi^2+a^2\bigr)^{\frac{3}{2}}} {a^2\varphi^2+2a^2}=a\dfrac{(1+\varphi^2)^{\frac{3}{2}}}{\varphi^2+2}\end{aligned}