Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Демидович — задача 1607

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны):

Задача 1607

r=a(1+cos⁡φ)r=a(1+\cos\varphi) (кардиоида).
Ответ:R(φ)=4a3∣cos⁡φ2∣,φ≠(2n+1)π,n∈ZR(\varphi)=\dfrac{4a}{3}\left|\cos\dfrac{\varphi}{2}\right|,
\qquad
\varphi\ne(2n+1)\pi,
\quad
n\in\mathbb ZВ точках возврата обычная формула кривизны неприменима, причёмlim⁡φ→(2n+1)πR(φ)=0,n∈Z\lim_{\varphi\to(2n+1)\pi}R(\varphi)=0,
\qquad
n\in\mathbb Z

Решение

Для полярной кривой используем формулуR=(r2+(r′)2)32∣r2+2(r′)2−rr′′∣R=
\dfrac{\bigl(r^2+(r')^2\bigr)^{\frac{3}{2}}}
{\left|r^2+2(r')^2-rr''\right|}Для кардиоиды при a>0a>0r=a(1+cos⁡φ),r′=−asin⁡φ,r′′=−acos⁡φr=a(1+\cos\varphi),
\qquad
r'=-a\sin\varphi,
\qquad
r''=-a\cos\varphiВычислим выражения, входящие в формулу:r2+(r′)2=a2((1+cos⁡φ)2+sin⁡2φ)==2a2(1+cos⁡φ)=4a2cos⁡2φ2\begin{aligned}
r^2+(r')^2
&=a^2\bigl((1+\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi\bigr)=\\
&=2a^2(1+\cos\varphi)=4a^2\cos^2\dfrac{\varphi}{2}
\end{aligned}иr2+2(r′)2−rr′′=a2((1+cos⁡φ)2+2sin⁡2φ+(1+cos⁡φ)cos⁡φ)==3a2(1+cos⁡φ)=6a2cos⁡2φ2\begin{aligned}
r^2+2(r')^2-rr''
&=a^2\bigl((1+\cos\varphi)^2+2\sin^2\varphi+
(1+\cos\varphi)\cos\varphi\bigr)=\\
&=3a^2(1+\cos\varphi)
=6a^2\cos^2\dfrac{\varphi}{2}
\end{aligned}В регулярных точках кардиоидыR(φ)=(4a2cos⁡2φ2)326a2cos⁡2φ2=4a3∣cos⁡φ2∣\begin{aligned}
R(\varphi)
&=\dfrac{\left(4a^2\cos^2\dfrac{\varphi}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
{6a^2\cos^2\dfrac{\varphi}{2}}=\dfrac{4a}{3}\left|\cos\dfrac{\varphi}{2}\right|
\end{aligned}Значениям параметраφ=(2n+1)π\varphi=(2n+1)\piсоответствуют точки возврата кардиоиды. Здесь r=0r=0 и r′=0r'=0, поэтому обе первые производные x′x' и y′y' полярной параметризации обращаются в нуль. В этих точках параметрическая формула кривизны непосредственно неприменима.
При приближении к этим точкам радиус кривизны стремится к нулю.
Демидович № 1607 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика