Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12

Демидович § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Условия, ответы и подробные решения задач 1471–1555

Задачи 1471–1555

85 из 85 с разбором

Графики функций смешанного вида

1521–1530

Задача 1521

Построить график функцииy=(x+2)e1xy=(x+2)e^{\frac1x}

Задача 1522

Построить график функцииy=2x2+1−x2−1y=2^{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}

Задача 1523

Построить график функцииy=ln⁡x2−3x+2x2+1y=\ln\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}

Задача 1524

Построить график функцииy=aarcsin⁡xa−a2−x2a>0y=a\arcsin\frac xa-\sqrt{a^2-x^2}
\qquad a>0

Задача 1525

Построить график функцииy=arccos⁡1−x1−2xy=\arccos\frac{1-x}{1-2x}

Задача 1526

Построить график функцииy=xxy=x^x

Задача 1527*

Построить график функцииy=x1xy=x^{\frac1x}

Задача 1528

Построить график функцииy=(1+x)1xy=(1+x)^{\frac1x}

Задача 1529*

Построить график функцииy=x(1+1x)x(x>0)y=x\left(1+\frac1x\right)^x
\qquad(x>0)

Задача 1530*

Построить график функцииy=e11−x21+x2(без исследования вогнутости)y=\frac{e^{\frac1{1-x^2}}}{1+x^2}
\qquad\text{(без исследования вогнутости)}

Параметрические кривые

1531–1540
Построить кривую, заданную параметрически:

Задача 1531

x=(t+1)24,y=(t−1)24x=\frac{(t+1)^2}{4},
\qquad
y=\frac{(t-1)^2}{4}

Задача 1532

x=2t−t2,y=3t−t3x=2t-t^2,
\qquad
y=3t-t^3

Задача 1533*

x=t2t−1,y=tt2−1x=\frac{t^2}{t-1},
\qquad
y=\frac{t}{t^2-1}

Задача 1534

x=t21−t2,y=11+t2x=\frac{t^2}{1-t^2},
\qquad
y=\frac1{1+t^2}

Задача 1535

x=t+e−t,y=2t+e−2tx=t+e^{-t},
\qquad
y=2t+e^{-2t}

Задача 1536

x=acos⁡2t,y=acos⁡3t,a>0x=a\cos2t,
\qquad
y=a\cos3t,
\qquad
a>0

Задача 1537

x=cos⁡4t,y=sin⁡4tx=\cos^4t,
\qquad
y=\sin^4t

Задача 1538

x=tln⁡t,y=ln⁡ttx=t\ln t,
\qquad
y=\frac{\ln t}{t}

Задача 1539

x=acos⁡3t,y=atg⁡3t,a>0x=\frac{a}{\cos^3t},
\qquad
y=a\operatorname{tg}^3t,
\qquad
a>0

Задача 1540

x=a(sh⁡t−t),y=a(ch⁡t−1),a>0x=a\bigl(\operatorname{sh}t-t\bigr),
\qquad
y=a\bigl(\operatorname{ch}t-1\bigr),
\qquad
a>0

Неявные кривые

1541–1545
Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить кривую

Задача 1541

x3+y3−3axy=0a>0x^3+y^3-3axy=0
\qquad a>0Указание. Положить y=txy=tx.

Задача 1542

x2+y2=x4+y4x^2+y^2=x^4+y^4

Задача 1543

x2y2=x3−y3x^2y^2=x^3-y^3

Задача 1544

xy=yxx>0y>0x^y=y^x
\qquad x>0
\qquad y>0

Задача 1545

Построить график кривойch⁡2x−ch⁡2y=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{ch}^2y=1

Полярные кривые

1546–1550
Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1546

r=a+bcos⁡φ0<a⩽br=a+b\cos\varphi
\qquad
0<a\leqslant b

Задача 1547

r=asin⁡3φa>0r=a\sin3\varphi
\qquad
a>0

Задача 1548

r=acos⁡3φa>0r=\frac a{\sqrt{\cos3\varphi}}
\qquad
a>0

Задача 1549

r=ath⁡φφ−1φ>1a>0r=a\frac{\operatorname{th}\varphi}{\varphi-1}
\qquad
\varphi>1
\qquad
a>0

Задача 1550

φ=arccos⁡r−1r2\varphi=\arccos\frac{r-1}{r^2}

Семейства кривых

1551–1555
Построить графики семейства кривых

Задача 1551

y=x2−2x+ay=x^2-2x+aгде aa — переменный параметр.

Задача 1552

y=x+a2xy=x+\frac{a^2}{x}где aa — переменный параметр.

Задача 1553

y=x±a(1−x2)y=x\pm\sqrt{a(1-x^2)}где aa — переменный параметр.

Задача 1554

y=x2+e−axy=\frac{x}{2}+e^{-ax}где aa — переменный параметр.

Задача 1555

y=xexay=xe^{\frac{x}{a}}где aa — переменный параметр.

Задачи 51–85 из 85