Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1536

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить кривую, заданную параметрически:

Задача 1536

x=acos⁡2t,y=acos⁡3t,a>0x=a\cos2t,
\qquad
y=a\cos3t,
\qquad
a>0
ПостроениеКривая задаётся уравнением2ay2=(x+a)(2x−a)2,−a⩽x⩽a2ay^2=(x+a)(2x-a)^2,
\qquad
-a\leqslant x\leqslant aОна симметрична относительно OxOx, имеет узел
N=(a2,0)N=(\frac a2,0) с касательными
y=±3(x−a2)y=\pm\sqrt3(x-\frac a2) и вертикальную касательную x=−ax=-a в
точке (−a,0)(-a,0).

Построение

Введём нормированные координатыX=xa,Y=yaX=\frac xa,
\qquad
Y=\frac yaи положим u=cos⁡tu=\cos t, где −1⩽u⩽1-1\leqslant u\leqslant1. По формулам
двойного и тройного углаX=2u2−1,Y=4u3−3u=u(2X−1)X=2u^2-1,
\qquad
Y=4u^3-3u=u(2X-1)Исключая uu, получаем уравнение кривой2Y2=(X+1)(2X−1)22Y^2=(X+1)(2X-1)^2или в исходных координатах2ay2=(x+a)(2x−a)22ay^2=(x+a)(2x-a)^2Из параметризации следует−a⩽x⩽a,−a⩽y⩽a-a\leqslant x\leqslant a,
\qquad
-a\leqslant y\leqslant aУравнение содержит yy только в квадрате, поэтому кривая симметрична
относительно оси OxOx.
Обе исходные координаты выражаются через u=cos⁡tu=\cos t. При
0⩽t⩽π0\leqslant t\leqslant\pi параметр uu убывает от 11 до
−1-1, принимая все значения из отрезка [−1,1][-1,1]. Этого промежутка
достаточно для однократного обхода всех дуг, кроме повторного прохождения
точки самопересечения. На промежутке [π,2π][\pi,2\pi] вся кривая
обходится повторно.
Характерные значения параметра uu дают точкиu=1:(X,Y)=(1,1)u=32:(X,Y)=(12,0)u=0:(X,Y)=(−1,0)u=−32:(X,Y)=(12,0)u=−1:(X,Y)=(1,−1)\begin{aligned}
u=1&: &(X,Y)&=(1,1)\\
u=\frac{\sqrt3}{2}&: &(X,Y)&=\left(\frac12,0\right)\\
u=0&: &(X,Y)&=(-1,0)\\
u=-\frac{\sqrt3}{2}&: &(X,Y)&=\left(\frac12,0\right)\\
u=-1&: &(X,Y)&=(1,-1)
\end{aligned}Следовательно, точкаN=(a2,0)N=\left(\frac a2,0\right)проходится при двух различных значениях uu и является узловой точкой
самопересечения.
Для параметризации через uudxdu=4au,dydu=a(12u2−3)\frac{dx}{du}=4au,
\qquad
\frac{dy}{du}=a(12u^2-3)поэтому при u≠0u\ne0dydx=3(4u2−1)4u\frac{dy}{dx}=\frac{3(4u^2-1)}{4u}В узле u=±32u=\pm\frac{\sqrt3}{2} получаем два различных угловых
коэффициентаdydx=±3\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt3и две касательныеy=±3(x−a2)y=\pm\sqrt3\left(x-\frac a2\right)При u=0u=0 имеем dxdu=0\frac{dx}{du}=0, но
dydu=−3a≠0\frac{dy}{du}=-3a\ne0, поэтому в точке
(−a,0)(-a,0) касательная вертикальна. В конечных точках (a,a)(a,a) и
(a,−a)(a,-a) касательные имеют угловые коэффициенты соответственно
94\frac94 и −94-\frac94.

Построение графика

В нормированных координатах кривая начинается в
(1,1)(1,1), приходит в узел (12,0)(\frac12,0), образует замкнутую петлю
с крайней левой точкой (−1,0)(-1,0), повторно проходит узел и заканчивается
в (1,−1)(1,-1). Увеличение aa растягивает обе оси в одинаковое число
раз и не меняет форму кривой.график к задаче Демидовича № 1536

Ответ

Кривая задаётся уравнением2ay2=(x+a)(2x−a)2,−a⩽x⩽a2ay^2=(x+a)(2x-a)^2,
\qquad
-a\leqslant x\leqslant aОна симметрична относительно OxOx, имеет узел
N=(a2,0)N=(\frac a2,0) с касательными
y=±3(x−a2)y=\pm\sqrt3(x-\frac a2) и вертикальную касательную x=−ax=-a в
точке (−a,0)(-a,0).

Проверка

При исключении параметра используем u2=(X+1)/2u^2=(X+1)/2 и Y=u(2X−1)Y=u(2X-1), откуда Y2=(X+1)(2X−1)2/2Y^2=(X+1)(2X-1)^2/2. Обратно, при −1⩽X⩽1-1\leqslant X\leqslant1 и X≠1/2X\ne1/2 число u=Y/(2X−1)u=Y/(2X-1) имеет квадрат (X+1)/2⩽1(X+1)/2\leqslant1 и восстанавливает параметр. При X=1/2X=1/2 получаем узел Y=0Y=0 с u=±3/2u=\pm\sqrt3/2. Лишних дуг нет.

Горизонтальные касательные находятся при 12u2−3=012u^2-3=0, то есть u=±1/2u=\pm1/2. Их точки: X=2(1/4)−1=−1/2X=2(1/4)-1=-1/2, Y=±1/2 (2X−1)=∓1Y=\pm1/2\,(2X-1)=\mp1. В исходных координатах это (−a/2,−a)(-a/2,-a) и (−a/2,a)(-a/2,a) — нижняя и верхняя точки петли.

В узле наклон равен 3(3−1)/(±23)=±33(3-1)/(\pm2\sqrt3)=\pm\sqrt3. В конечных точках u=±1u=\pm1 он равен 3(4−1)/(±4)=±9/43(4-1)/(\pm4)=\pm9/4.
Демидович № 1536 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика