Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1534

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить кривую, заданную параметрически:

Задача 1534

x=t21−t2,y=11+t2x=\frac{t^2}{1-t^2},
\qquad
y=\frac1{1+t^2}
ПостроениеКривая состоит из частей графика
y=x+12x+1y=\frac{x+1}{2x+1} при
x∈(−∞,−1)∪[0,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup[0,+\infty). Точка (−1,0)(-1,0) выколота,
точка (0,1)(0,1) включена; горизонтальная асимптота — y=12y=\frac12.
Значения tt и −t-t задают одну и ту же точку кривой.

Построение

Допустимы значенияt∈R∖{−1,1}t\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}Положим s=t2⩾0s=t^2\geqslant0. Тогдаx=s1−s,y=11+sx=\frac{s}{1-s},
\qquad
y=\frac1{1+s}Исключая ss, получаемy=x+12x+1y=\frac{x+1}{2x+1}Однако параметризация задаёт не весь график этой дробно-линейной
функции. При 0⩽s<10\leqslant s<1x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty)а при s>1s>1x∈(−∞,−1)x\in(-\infty,-1)Следовательно, геометрическое место состоит ровно из двух частей
графика функции y=x+12x+1y=\frac{x+1}{2x+1} приx∈(−∞,−1)∪[0,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)Поскольку обе координаты зависят только от t2t^2, значения tt и
−t-t задают одну и ту же точку. Каждая точка, кроме соответствующей
t=0t=0, проходится дважды.
При t=0t=0 получаем включённую точку(0,1)(0,1)При t→±∞t\to\pm\infty(x,y)⟶(−1,0)(x,y)\longrightarrow(-1,0)но допустимого конечного значения параметра, задающего эту точку, нет.
Поэтому (−1,0)(-1,0) является выколотой предельной точкой, а прямая
x=−1x=-1 не является вертикальной асимптотой.
При t→±1t\to\pm1 имеем ∣x∣→∞|x|\to\infty иy→12y\to\frac12Следовательно, y=12y=\frac12 --- горизонтальная асимптота обеих
ветвей. Производная после исключения параметра равнаdydx=−1(2x+1)2<0\frac{dy}{dx}=-\frac1{(2x+1)^2}<0поэтому обе части графика убывают при возрастании xx. Множество
ординат кривой:E=(0,12)∪(12,1]E=\left(0,\frac12\right)\cup\left(\frac12,1\right]

Построение графика

Рисуем только те части дробно-линейного графика,
которые действительно достигаются допустимыми параметрами: левую при
x<−1x<-1 и правую при x⩾0x\geqslant0. Отмечаем выколотую предельную
точку (−1,0)(-1,0), включённую точку (0,1)(0,1) и горизонтальную
асимптоту y=12y=\frac12.график к задаче Демидовича № 1534

Ответ

Кривая состоит из частей графика
y=x+12x+1y=\frac{x+1}{2x+1} при
x∈(−∞,−1)∪[0,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup[0,+\infty). Точка (−1,0)(-1,0) выколота,
точка (0,1)(0,1) включена; горизонтальная асимптота --- y=12y=\frac12.
Значения tt и −t-t задают одну и ту же точку кривой.

Проверка

Из x=s/(1−s)x=s/(1-s) следует s=x/(1+x)s=x/(1+x). Тогда y=1/(1+s)=(1+x)/(1+2x)y=1/(1+s)=(1+x)/(1+2x). Условие s⩾0s\geqslant0, s≠1s\ne1 даёт именно x<−1x<-1 или x⩾0x\geqslant0; каждому такому xx соответствует t=±st=\pm\sqrt{s}, а при s=0s=0 — один параметр t=0t=0. Вторая производная y′′=4/(2x+1)3y''=4/(2x+1)^3 отрицательна на левой части и положительна на правой. Перегибов нет. В конечной точке (0,1)(0,1) касательная имеет наклон y′(0)=−1y'(0)=-1, хотя обе производные по параметру tt там равны нулю.
Демидович № 1534 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика