Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1552

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1552

y=x+\frac{a^2}{x}

где

a

— переменный параметр.

ПостроениеПри

a=0

график есть прямая

y=x

с исключённой точкой

O(0,0)

. При

a\ne0

получаются две центрально-симметричные ветви с
асимптотами

x=0

y=x

, экстремальными точками

\bigl(|a|,2|a|\bigr)\qquad\bigl(-|a|,-2|a|\bigr)

и множеством значений

(-\infty,-2|a|]\cup[2|a|,+\infty)

Построение

Идея

Во всех случаях выражение определено только при

x\ne0

Параметр входит в формулу лишь через

a^2

, поэтому значения

a

-a

задают одну и ту же кривую.

1
Сначала отделим вырожденный случай. При $a=0$ получаем $y=x\qquadx\ne0$ То есть график совпадает с прямой $y=x$ , но точка $O(0,0)$ из него
исключена.

Пусть теперь $a\ne0$ . Функция нечётна, поскольку $f(-x)=-x-\frac{a^2}{x}=-f(x)$ поэтому её график симметричен относительно начала координат. При $x\to0$
слагаемое $\frac{a^2}{x}$ неограниченно, следовательно, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Кроме того, $y-x=\frac{a^2}{x}\longrightarrow0\qquad |x|\to\infty$ поэтому второй асимптотой служит прямая $y=x$ .
2
Найдём характерные точки: $y'=1-\frac{a^2}{x^2}\qquady''=\frac{2a^2}{x^3}$ Производная обращается в нуль при $x=\pm|a|$ . На положительной ветви
получаем минимум, а на отрицательной — максимум: $M_+\bigl(|a|,2|a|\bigr)\qquadM_-\bigl(-|a|,-2|a|\bigr)$ Отсюда множество значений при $a\ne0$ равно $(-\infty,-2|a|]\cup[2|a|,+\infty)$ Положительная ветвь лежит в первой четверти, отрицательная — в третьей.

Для $a\ne0$ положим $x=|a|X\qquady=|a|Y$ Тогда $Y=X+\frac1X$ Следовательно, все невырожденные кривые гомотетичны относительно начала
координат с коэффициентом $|a|$ .
3
Построение графика
Показаны случаи $|a|=1$ , $|a|=2$ и $a=0$ .
Диагональная прямая при $a=0$ одновременно является наклонной асимптотой
всех невырожденных кривых. Ось $Oy$ служит их вертикальной асимптотой.
В начале координат на прямой поставлен выколотый маркер. $график к задаче Демидовича № 1552$

Проверка

Ответ. При

a=0