Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1552

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1552

y=x+a2xy=x+\frac{a^2}{x}где aa — переменный параметр.
ПостроениеПри a=0a=0 график есть прямая y=xy=x с исключённой точкой
O(0,0)O(0,0). При a≠0a\ne0 получаются две центрально-симметричные ветви с
асимптотами x=0x=0 и y=xy=x, экстремальными точками(∣a∣,2∣a∣)(−∣a∣,−2∣a∣)\bigl(|a|,2|a|\bigr)
\qquad
\bigl(-|a|,-2|a|\bigr)и множеством значений(−∞,−2∣a∣]∪[2∣a∣,+∞)(-\infty,-2|a|]\cup[2|a|,+\infty)

Построение

Во всех случаях выражение определено только приx≠0x\ne0Параметр входит в формулу лишь через a2a^2, поэтому значения aa и −a-a
задают одну и ту же кривую.
Сначала отделим вырожденный случай. При a=0a=0 получаемy=xx≠0y=x
\qquad
x\ne0То есть график совпадает с прямой y=xy=x, но точка O(0,0)O(0,0) из него
исключена.

Пусть теперь a≠0a\ne0. Функция нечётна, посколькуf(−x)=−x−a2x=−f(x)f(-x)=-x-\frac{a^2}{x}=-f(x)поэтому её график симметричен относительно начала координат. При x→0x\to0
слагаемое a2x\frac{a^2}{x} неограниченно, следовательно, прямаяx=0x=0является вертикальной асимптотой. Кроме того,y−x=a2x⟶0∣x∣→∞y-x=\frac{a^2}{x}\longrightarrow0
\qquad |x|\to\inftyпоэтому второй асимптотой служит прямая y=xy=x.
Найдём характерные точки:y′=1−a2x2y′′=2a2x3y'=1-\frac{a^2}{x^2}
\qquad
y''=\frac{2a^2}{x^3}Производная обращается в нуль при x=±∣a∣x=\pm|a|. На положительной ветви
получаем минимум, а на отрицательной --- максимум:M+(∣a∣,2∣a∣)M−(−∣a∣,−2∣a∣)M_+\bigl(|a|,2|a|\bigr)
\qquad
M_-\bigl(-|a|,-2|a|\bigr)Отсюда множество значений при a≠0a\ne0 равно(−∞,−2∣a∣]∪[2∣a∣,+∞)(-\infty,-2|a|]\cup[2|a|,+\infty)Положительная ветвь лежит в первой четверти, отрицательная --- в третьей.

Для a≠0a\ne0 положимx=∣a∣Xy=∣a∣Yx=|a|X
\qquad
y=|a|YТогдаY=X+1XY=X+\frac1XСледовательно, все невырожденные кривые гомотетичны относительно начала
координат с коэффициентом ∣a∣|a|.

Построение графика

Показаны случаи ∣a∣=1|a|=1, ∣a∣=2|a|=2 и a=0a=0.
Диагональная прямая при a=0a=0 одновременно является наклонной асимптотой
всех невырожденных кривых. Ось OyOy служит их вертикальной асимптотой.
В начале координат на прямой поставлен выколотый маркер.график к задаче Демидовича № 1552

Ответ

При a=0a=0 график есть прямая y=xy=x с исключённой точкой
O(0,0)O(0,0). При a≠0a\ne0 получаются две центрально-симметричные ветви с
асимптотами x=0x=0 и y=xy=x, экстремальными точками(∣a∣,2∣a∣)(−∣a∣,−2∣a∣)\bigl(|a|,2|a|\bigr)
\qquad
\bigl(-|a|,-2|a|\bigr)и множеством значений(−∞,−2∣a∣]∪[2∣a∣,+∞)(-\infty,-2|a|]\cup[2|a|,+\infty)

Проверка

При a≠0a\ne0 производная положительна для ∣x∣>∣a∣|x|>|a| и отрицательна для 0<∣x∣<∣a∣0<|x|<|a|. Поэтому функция возрастает на (−∞,−∣a∣)(-\infty,-|a|) и (∣a∣,+∞)(|a|,+\infty), убывает на (−∣a∣,0)(-|a|,0) и (0,∣a∣)(0,|a|). Ординаты: f(∣a∣)=∣a∣+a2/∣a∣=2∣a∣f(|a|)=|a|+a^2/|a|=2|a|, f(−∣a∣)=−2∣a∣f(-|a|)=-2|a|. На каждой ветви вторая производная имеет постоянный знак; точка разрыва 00 перегибом не является. Минимум и максимум здесь локальные относительно полной области определения.
Демидович № 1552 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика