Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1551

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1551

y=x2−2x+ay=x^2-2x+aгде aa — переменный параметр.
ПостроениеСемейство состоит из параболy=(x−1)2+a−1y=(x-1)^2+a-1с общей осью x=1x=1 и вершинами Va(1,a−1)V_a(1,a-1). При a<1a<1 парабола
пересекает ось OxOx в двух точках, при a=1a=1 касается её, а при a>1a>1
лежит выше оси OxOx.

Построение

Идея

Выделим полный квадрат:y=(x−1)2+a−1y=(x-1)^2+a-1При каждом a∈Ra\in\mathbb R получаем параболу с ветвями, направленными
вверх. Её ось симметрии и вершина имеют видx=1Va(1,a−1)x=1
\qquad
V_a(1,a-1)Таким образом, изменение параметра aa сдвигает одну и ту же параболу
y=(x−1)2y=(x-1)^2 вдоль оси OyOy на величину a−1a-1.
  1. 1
    Производныеy′=2x−2=2(x−1)y′′=2>0y'=2x-2=2(x-1)
    \qquad
    y''=2>0    подтверждают, что функция убывает при x<1x<1, возрастает при x>1x>1 и
    достигает наименьшего значения a−1a-1 при x=1x=1.

    С осью OyOy каждая парабола пересекается в точке(0,a)(0,a)Для пересечения с осью OxOx решаем уравнение(x−1)2=1−a(x-1)^2=1-aПоэтому при a<1a<1 имеются две точкиx=1±1−ax=1\pm\sqrt{1-a}при a=1a=1 парабола касается оси OxOx в вершине (1,0)(1,0), а при a>1a>1
    общих точек с осью OxOx нет.
  2. 2

    Построение графика

    На одном координатном рисунке показаны четыре
    характерных положения семейства: a=−1a=-1, a=0a=0, a=1a=1 и a=2a=2.
    Закрашенными маркерами отмечены соответствующие вершины. Все остальные
    кривые семейства получаются тем же вертикальным сдвигом. Светлая
    пунктирная прямая x=1x=1 показывает их общую ось симметрии.график к задаче Демидовича № 1551

Проверка

Ответ. Семейство состоит из параболy=(x−1)2+a−1y=(x-1)^2+a-1с общей осью x=1x=1 и вершинами Va(1,a−1)V_a(1,a-1). При a<1a<1 парабола
пересекает ось OxOx в двух точках, при a=1a=1 касается её, а при a>1a>1
лежит выше оси OxOx.
Демидович № 1551 — решение и ответ