Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1544

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить кривую

Задача 1544

xy=yxx>0y>0x^y=y^x
\qquad x>0
\qquad y>0
ПостроениеМножество решений состоит из диагональной ветви y=xy=x, x>0x>0,
и нелинейной ветвиx=t1t−1y=ttt−1t>0t≠1x=t^{\frac1{t-1}}
\qquad
y=t^{\frac{t}{t-1}}
\qquad
t>0
\qquad
t\ne1дополненной точкой (e,e)(e,e). Её асимптоты имеют уравнения x=1x=1 и y=1y=1.

Построение

Идея

Поскольку xx и yy положительны, логарифмирование равносильно исходному
уравнению:yln⁡x=xln⁡yy\ln x=x\ln yВсе точки прямойy=xx>0y=x
\qquad x>0являются решениями.
  1. 1
    Теперь пусть x≠yx\ne y и положимy=txt>0t≠1y=tx
    \qquad t>0
    \qquad t\ne1    После подстановки и деления на x>0x>0 имеемtln⁡x=ln⁡t+ln⁡xt\ln x=\ln t+\ln xоткудаx=t1t−1y=ttt−1t>0t≠1x=t^{\frac1{t-1}}
    \qquad
    y=t^{\frac{t}{t-1}}
    \qquad
    t>0
    \qquad
    t\ne1    При t→1t\to1 по правилу Лопиталяln⁡x=ln⁡tt−1⟶1\ln x=\frac{\ln t}{t-1}\longrightarrow1поэтому параметрическая ветвь непрерывно дополняется точкойE(e,e)E(e,e)Замена tt на 1t\frac1t переставляет xx и yy, что согласуется с симметрией
    исходного уравнения относительно прямой y=xy=x. При t→0+t\to0^+x→+∞y→1x\to+\infty
    \qquad
    y\to1    а при t→+∞t\to+\inftyx→1y→+∞x\to1
    \qquad
    y\to+\infty    Следовательно, у нелинейной ветви имеются асимптоты y=1y=1 и x=1x=1.
    Для всех её точек x>1x>1 и y>1y>1.

    Чтобы определить направление ветви в точке EE, положим t=1+ht=1+h.
    Тогда при h→0h\to0x=e(1−h2+o(h))y=e(1+h2+o(h))x=e\left(1-\frac h2+o(h)\right)
    \qquad
    y=e\left(1+\frac h2+o(h)\right)    поэтому касательная к нелинейной ветви в точке EE имеет угловой
    коэффициент −1-1. Она пересекает диагональную ветвь y=xy=x, касательная к
    которой имеет угловой коэффициент 11.
  2. 2

    Построение графика

    Синим показана диагональная ветвь y=xy=x, x>0x>0,
    пурпурным — нелинейная параметрическая ветвь. Серые пунктирные прямые
    x=1x=1 и y=1y=1 являются её асимптотами. Точка пересечения ветвей E(e,e)E(e,e)
    отмечена закрашенным маркером, а выколотый маркер в начале координат
    показывает, что O(0,0)O(0,0) не принадлежит кривой.график к задаче Демидовича № 1544

Проверка

Ответ. Множество решений состоит из диагональной ветви y=xy=x, x>0x>0,
и нелинейной ветвиx=t1t−1y=ttt−1t>0t≠1x=t^{\frac1{t-1}}
\qquad
y=t^{\frac{t}{t-1}}
\qquad
t>0
\qquad
t\ne1дополненной точкой (e,e)(e,e). Её асимптоты имеют уравнения x=1x=1 и y=1y=1.
Демидович № 1544 — решение и ответ