Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1542

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить кривую

Задача 1542

x2+y2=x4+y4x^2+y^2=x^4+y^4
ПостроениеКривая состоит из изолированной точки O(0,0)O(0,0) и замкнутой
компонентыx(φ)=cos⁡φcos⁡4φ+sin⁡4φy(φ)=sin⁡φcos⁡4φ+sin⁡4φx(\varphi)
=\frac{\cos\varphi}
{\sqrt{\cos^4\varphi+\sin^4\varphi}}
\qquad
y(\varphi)
=\frac{\sin\varphi}
{\sqrt{\cos^4\varphi+\sin^4\varphi}}где 0⩽φ⩽2π0\leqslant\varphi\leqslant2\pi. Для внешней компоненты выполняется
1⩽r⩽21\leqslant r\leqslant\sqrt2.

Построение

Идея

Уравнение не изменяется при заменах xx на −x-x, yy на −y-y и при
перестановке xx и yy. Поэтому кривая симметрична относительно обеих
координатных осей и прямых y=xy=x, y=−xy=-x.
  1. 1
    Перейдём к полярным координатам:x=rcos⁡φy=rsin⁡φx=r\cos\varphi
    \qquad
    y=r\sin\varphi    Подстановка даётr2=r4(cos⁡4φ+sin⁡4φ)r^2=r^4\left(\cos^4\varphi+\sin^4\varphi\right)Отдельно получаем решение r=0r=0, то есть изолированную точку O(0,0)O(0,0).
    Для остальных точекr(φ)=1cos⁡4φ+sin⁡4φ=11−12sin⁡22φr(\varphi)
    =\frac1{\sqrt{\cos^4\varphi+\sin^4\varphi}}
    =\frac1{\sqrt{1-\dfrac12\sin^22\varphi}}    Поскольку12⩽cos⁡4φ+sin⁡4φ⩽1\frac12\leqslant
    \cos^4\varphi+\sin^4\varphi
    \leqslant1    имеем1⩽r⩽21\leqslant r\leqslant\sqrt2Следовательно, полярная формула задаёт отдельную замкнутую компоненту,
    не проходящую через начало координат.

    На координатных осях получаем точки(±1,0)(0,±1)(\pm1,0)
    \qquad
    (0,\pm1)    а на прямых y=±xy=\pm x — точки(1,1)(1,−1)(−1,1)(−1,−1)(1,1)
    \qquad
    (1,-1)
    \qquad
    (-1,1)
    \qquad
    (-1,-1)    Например, в точке (1,0)(1,0) касательная вертикальна, а в точке (1,1)(1,1) её
    угловой коэффициент равен −1-1. Эти сведения вместе с симметрией определяют
    форму внешней компоненты.
  2. 2

    Построение графика

    Строим замкнутую полярную кривую при
    0⩽φ⩽2π0\leqslant\varphi\leqslant2\pi и отдельно отмечаем изолированную точку
    O(0,0)O(0,0). Характерные точки на осях и диагоналях показаны закрашенными
    маркерами.график к задаче Демидовича № 1542

Проверка

Ответ. Кривая состоит из изолированной точки O(0,0)O(0,0) и замкнутой
компонентыx(φ)=cos⁡φcos⁡4φ+sin⁡4φy(φ)=sin⁡φcos⁡4φ+sin⁡4φx(\varphi)
=\frac{\cos\varphi}
{\sqrt{\cos^4\varphi+\sin^4\varphi}}
\qquad
y(\varphi)
=\frac{\sin\varphi}
{\sqrt{\cos^4\varphi+\sin^4\varphi}}где 0⩽φ⩽2π0\leqslant\varphi\leqslant2\pi. Для внешней компоненты выполняется
1⩽r⩽21\leqslant r\leqslant\sqrt2.
Демидович № 1542 — решение и ответ