Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1553

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1553

y=x\pm\sqrt{a(1-x^2)}

где

a

— переменный параметр.

ПостроениеПри

a>0

получаются эллипсы

(1+a)x^2-2xy+y^2=a

при

a=0

— прямая

y=x

, а при

a<0

— гиперболы

(y-x)^2+ax^2=a

с асимптотами

y=(1\pm\sqrt{-a})x

Все кривые семейства проходят через точки

(-1,-1)

(1,1)

Построение

Идея

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

a(1-x^2)\geqslant0

Поэтому вид области определения, а вместе с ним и тип кривой, зависит от
знака параметра. Обе записи со знаками

+

-

удобно объединить одним
уравнением:

(y-x)^2=a(1-x^2)

1
Случай $a>0$ .
Тогда $|x|\leqslant1$ , а уравнение принимает вид $(1+a)x^2-2xy+y^2=a$ Квадратичная форма в левой части положительно определена, поскольку $(1+a)u^2-2uv+v^2=(u-v)^2+au^2>0$ для $(u,v)\ne(0,0)$ . Следовательно, кривая является эллипсом с центром в
начале координат. Две явные ветви соединяются в общих конечных точках $P_-( -1,-1)\qquadP_+(1,1)$ В них касательные вертикальны. При $x=0$ эллипс проходит через точки $N_\pm(0,\pm\sqrt a)$
2
Для нахождения верхней и нижней точек продифференцируем неявное уравнение: $(y-x)(y'-1)=-ax$ При горизонтальной касательной $y'=0$ , откуда $y=(1+a)x$ . Совместно с
уравнением кривой это даёт $M_\pm\left(\pm\frac1{\sqrt{1+a}},\pm\sqrt{1+a}\right)$ Знаки координат в каждой из этих точек выбираются одинаково.
3
Построение графика
Для иллюстрации положительной части семейства показаны
эллипсы при $a=\frac14$ и $a=1$ . Все эллипсы проходят через точки
$P_-$ и $P_+$ ; с ростом $a$ их размах по оси $Oy$ увеличивается. $график к задаче Демидовича № 1553$

Случай $a=0$ .
Подкоренное выражение равно нулю при любом $x\in\mathbb R$ , поэтому обе
формулы совпадают и задают всю прямую $y=x$ В частности, ограничение $|x|\leqslant1$ в этом случае отсутствует.
4
Построение графика
Прямая $y=x$ показана без выколотых точек: при $a=0$
она определена для всех вещественных $x$ . $график к задаче Демидовича № 1553$

Случай $a<0$ .
Положим $b=-a>0$ . Тогда $|x|\geqslant1$ и $y=x\pm\sqrt{b(x^2-1)}$ а неявное уравнение принимает вид $(y-x)^2-bx^2=-b$ Квадратичная форма в левой части неопределённа, поэтому кривая является
гиперболой с центром в начале координат. Её две компоненты проходят через
$P_-( -1,-1)$ и $P_+(1,1)$ соответственно; касательные в этих точках
вертикальны.

При $|x|\to\infty$ имеем $\sqrt{x^2-1}=|x|+o(1)$ поэтому обе асимптоты гиперболы задаются уравнениями $y=(1+\sqrt b)x\qquady=(1-\sqrt b)x$ или, с учётом $b=-a$ , $y=(1+\sqrt{-a})x\qquady=(1-\sqrt{-a})x$
5
Построение графика
Для отрицательных значений параметра показаны
гиперболы при $a=-\frac14$ и $a=-1$ . Они имеют общие точки $P_-$ и
$P_+$ , но разные пары асимптот. Тонкими пунктирными линиями показаны
$y=\frac32x$ , $y=\frac12x$ и $y=2x$ ; четвёртая асимптота $y=0$
совпадает с осью $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 1553$

Проверка

Ответ. При

a>0