Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1547

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1547

r=asin⁡3φa>0r=a\sin3\varphi
\qquad
a>0
ПостроениеГрафик представляет собой трёхлепестковую розу. Расстояние
от полюса до вершины каждого лепестка равно aa, а оси лепестков задаются угламиφ=π6+2πk3k=0,1,2\varphi=\frac\pi6+\frac{2\pi k}{3}
\qquad
k=0,1,2

Построение

Из условия r⩾0r\geqslant0 получаемsin⁡3φ⩾0\sin3\varphi\geqslant0На промежутке 0⩽φ<2π0\leqslant\varphi<2\pi это неравенство выполняется на
трёх отрезках:0⩽φ⩽π30\leqslant\varphi\leqslant\frac\pi32π3⩽φ⩽π\frac{2\pi}3\leqslant\varphi\leqslant\pi4π3⩽φ⩽5π3\frac{4\pi}3\leqslant\varphi\leqslant\frac{5\pi}3На концах каждого отрезка r=0r=0, поэтому соответствующая дуга начинается
и заканчивается в полюсе. Наибольшее значение r=ar=a достигается, когда
sin⁡3φ=1\sin3\varphi=1, то есть приφ=π6+2πk3k=0,1,2\varphi=\frac\pi6+\frac{2\pi k}{3}
\qquad
k=0,1,2Следовательно, кривая состоит из трёх одинаковых лепестков. Их оси имеют
направленияπ65π63π2\frac\pi6
\qquad
\frac{5\pi}6
\qquad
\frac{3\pi}2а поворот на 2π3\frac{2\pi}{3} переводит кривую в себя.

Построение графика

Строим по одной аналитической дуге на каждом из трёх
допустимых промежутков. Координаты нормированы делением на aa.график к задаче Демидовича № 1547

Ответ

График представляет собой трёхлепестковую розу. Расстояние
от полюса до вершины каждого лепестка равно aa, а оси лепестков задаются угламиφ=π6+2πk3k=0,1,2\varphi=\frac\pi6+\frac{2\pi k}{3}
\qquad
k=0,1,2

Проверка

На первом лепестке r′=3acos⁡3φr'=3a\cos3\varphi положителен при 0<φ<π/60<\varphi<\pi/6 и отрицателен при π/6<φ<π/3\pi/6<\varphi<\pi/3. Замена φ↦π/3−φ\varphi\mapsto\pi/3-\varphi сохраняет радиус, поэтому эта дуга симметрична относительно луча π/6\pi/6. Остальные два лепестка получаются поворотами на 2π/32\pi/3 и 4π/34\pi/3.
Демидович № 1547 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика