Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1545

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1545

Построить график кривойch⁡2x−ch⁡2y=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{ch}^2y=1
ПостроениеКривая состоит из двух ветвейx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=t
\qquad
t\in\mathbb Rпересекает ось OxOx в точках
(±ln⁡(1+2),0)\left(\pm\ln(1+\sqrt2),0\right) и имеет асимптоты y=±xy=\pm x.

Построение

Используем тождествоch⁡2x−1=sh⁡2x\operatorname{ch}^2x-1=\operatorname{sh}^2xИсходное уравнение равносильно равенствуsh⁡2x=ch⁡2y\operatorname{sh}^2x=\operatorname{ch}^2yто есть∣sh⁡x∣=ch⁡y|\operatorname{sh} x|=\operatorname{ch} yПравая часть не меньше 11, поэтому∣sh⁡x∣⩾1|\operatorname{sh} x|\geqslant1и, следовательно,∣x∣⩾ln⁡(1+2)|x|\geqslant\ln(1+\sqrt2)Обозначимα=ln⁡(1+2)\alpha=\ln(1+\sqrt2)
Возьмём y=ty=t в качестве параметра. На правой ветви x>0x>0 имеем
sh⁡x=ch⁡t\operatorname{sh} x=\operatorname{ch} t, откудаx=ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tx=\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=tЛевая ветвь получается изменением знака xx. Итак, полное параметрическое
задание имеет видx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=t
\qquad
t\in\mathbb RКривая симметрична относительно обеих координатных осей. При t=0t=0 она
пересекает ось OxOx в точкахC±(±α,0)C_\pm(\pm\alpha,0)Если рассматривать xx как функцию параметра tt, то на правой ветвиdxdt=sh⁡t1+ch⁡2t\frac{dx}{dt}
=\frac{\operatorname{sh} t}{\sqrt{1+\operatorname{ch}^2t}}Поэтому при t=0t=0 имеем dxdt=0\frac{dx}{dt}=0, а dydt=1\frac{dy}{dt}=1; касательные
в точках
C±C_\pm вертикальны.

При t→+∞t\to+\infty на правой ветвиx=ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)=t+o(1)x=\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
=t+o(1)а при t→−∞t\to-\infty имеем x=−t+o(1)x=-t+o(1). Следовательно, асимптотами
кривой являются прямыеy=xy=−xy=x
\qquad
y=-x

Построение графика

Строим отдельно правую и левую ветви по полученным
параметрическим формулам. Пунктиром показаны асимптоты y=xy=x и y=−xy=-x,
а точки C±C_\pm отмечены закрашенными маркерами.график к задаче Демидовича № 1545

Ответ

Кривая состоит из двух ветвейx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=t
\qquad
t\in\mathbb Rпересекает ось OxOx в точках
(±ln⁡(1+2),0)\left(\pm\ln(1+\sqrt2),0\right) и имеет асимптоты y=±xy=\pm x.

Проверка

Решая sinh⁡x=1\sinh x=1 при x>0x>0, положим z=ex>0z=e^x>0. Получаем (z−z−1)/2=1(z-z^{-1})/2=1, то есть z2−2z−1=0z^2-2z-1=0; положительный корень z=1+2z=1+\sqrt2, откуда x=ln⁡(1+2)x=\ln(1+\sqrt2).

Для асимптот пусть T=∣t∣→∞T=|t|\to\infty. Тогдаx−T=ln⁡[1+e−2T2+(1+e−2T2)2+e−2T]⟶ln⁡1=0x-T=\ln\left[\frac{1+e^{-2T}}2+\sqrt{\left(\frac{1+e^{-2T}}2\right)^2+e^{-2T}}\right]\longrightarrow\ln1=0на правой ветви. Это доказывает обе указанные прямые асимптоты; для левой ветви используем отражение. При этом sinh⁡x=cosh⁡t>sinh⁡∣t∣\sinh x=\cosh t>\sinh|t|, поэтому x>∣t∣x>|t| на правой ветви: она лежит с внешней стороны соответствующих прямых.

Если рассматривать xx как функцию y=ty=t, тоd2xdt2=cosh⁡t(1+cosh⁡2t)−sinh⁡2tcosh⁡t(1+cosh⁡2t)3/2=2cosh⁡t(1+cosh⁡2t)3/2>0.\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{\cosh t(1+\cosh^2t)-\sinh^2t\cosh t}{(1+\cosh^2t)^{3/2}}
=\frac{2\cosh t}{(1+\cosh^2t)^{3/2}}>0.Поэтому правая ветвь имеет неизменное направление изгиба и перегибов нет; слева вывод получается по симметрии.
Демидович № 1545 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика