Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1545

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1545

Построить график кривойch⁡2x−ch⁡2y=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{ch}^2y=1
ПостроениеКривая состоит из двух ветвейx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=t
\qquad
t\in\mathbb Rпересекает ось OxOx в точках
(±ln⁡(1+2),0)\left(\pm\ln(1+\sqrt2),0\right) и имеет асимптоты y=±xy=\pm x.

Построение

Идея

Используем тождествоch⁡2x−1=sh⁡2x\operatorname{ch}^2x-1=\operatorname{sh}^2xИсходное уравнение равносильно равенствуsh⁡2x=ch⁡2y\operatorname{sh}^2x=\operatorname{ch}^2yто есть∣sh⁡x∣=ch⁡y|\operatorname{sh} x|=\operatorname{ch} yПравая часть не меньше 11, поэтому∣sh⁡x∣⩾1|\operatorname{sh} x|\geqslant1и, следовательно,∣x∣⩾ln⁡(1+2)|x|\geqslant\ln(1+\sqrt2)Обозначимα=ln⁡(1+2)\alpha=\ln(1+\sqrt2)
  1. 1
    Возьмём y=ty=t в качестве параметра. На правой ветви x>0x>0 имеем
    sh⁡x=ch⁡t\operatorname{sh} x=\operatorname{ch} t, откудаx=ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tx=\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
    \qquad
    y=t    Левая ветвь получается изменением знака xx. Итак, полное параметрическое
    задание имеет видx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
    \qquad
    y=t
    \qquad
    t\in\mathbb R    Кривая симметрична относительно обеих координатных осей. При t=0t=0 она
    пересекает ось OxOx в точкахC±(±α,0)C_\pm(\pm\alpha,0)Если рассматривать xx как функцию параметра tt, то на правой ветвиdxdt=sh⁡t1+ch⁡2t\frac{dx}{dt}
    =\frac{\operatorname{sh} t}{\sqrt{1+\operatorname{ch}^2t}}    Поэтому при t=0t=0 имеем dxdt=0\frac{dx}{dt}=0, а dydt=1\frac{dy}{dt}=1; касательные
    в точках
    C±C_\pm вертикальны.

    При t→+∞t\to+\infty на правой ветвиx=ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)=t+o(1)x=\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
    =t+o(1)    а при t→−∞t\to-\infty имеем x=−t+o(1)x=-t+o(1). Следовательно, асимптотами
    кривой являются прямыеy=xy=−xy=x
    \qquad
    y=-x
  2. 2

    Построение графика

    Строим отдельно правую и левую ветви по полученным
    параметрическим формулам. Пунктиром показаны асимптоты y=xy=x и y=−xy=-x,
    а точки C±C_\pm отмечены закрашенными маркерами.график к задаче Демидовича № 1545

Проверка

Ответ. Кривая состоит из двух ветвейx=±ln⁡(ch⁡t+ch⁡2t+1)y=tt∈Rx=\pm\ln\left(\operatorname{ch} t+\sqrt{\operatorname{ch}^2t+1}\right)
\qquad
y=t
\qquad
t\in\mathbb Rпересекает ось OxOx в точках
(±ln⁡(1+2),0)\left(\pm\ln(1+\sqrt2),0\right) и имеет асимптоты y=±xy=\pm x.
Демидович № 1545 — решение и ответ