Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1523

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1523

Построить график функцииy=ln⁡x2−3x+2x2+1y=\ln\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}
ПостроениеОбласть определения
(−∞,1)∪(2,+∞)(-\infty,1)\cup(2,+\infty). Единственный нуль x=13x=\frac13,
максимум достигается при x=1−103x=\frac{1-\sqrt{10}}3, единственная точка
перегиба имеет абсциссу γ≈−1,517\gamma\approx-1{,}517. Асимптоты:
x=1x=1, x=2x=2 и y=0y=0.

Построение

Идея

Знаменатель x2+1x^2+1 положителен при всех xx. Поэтому аргумент логарифма
положителен тогда и только тогда, когда(x−1)(x−2)>0(x-1)(x-2)>0ОтсюдаD=(−∞,1)∪(2,+∞)D=(-\infty,1)\cup(2,+\infty)
  1. 1
    Нуль функции находится из равенства аргумента логарифма единице:x2−3x+2x2+1=1⟺x=13\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}=1
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac13    Это единственная точка пересечения графика с осью OxOx. При x=0x=0
    получаем точку пересечения с осью OyOy:y(0)=ln⁡2y(0)=\ln2На границах области определенияlim⁡x→1−y=−∞lim⁡x→2+y=−∞\lim_{x\to1^-}y=-\infty
    \qquad
    \lim_{x\to2^+}y=-\infty    поэтому x=1x=1 и x=2x=2 являются вертикальными асимптотами по тем сторонам,
    где функция определена. При x→±∞x\to\pm\infty отношение под логарифмом
    стремится к единице, следовательно,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Горизонтальная асимптота y=0y=0 совпадает с осью OxOx.y′=2x−3x2−3x+2−2xx2+1==3x2−2x−3(x2+1)(x2−3x+2)\begin{aligned}
    y'
    &=\frac{2x-3}{x^2-3x+2}-\frac{2x}{x^2+1}=\\
    &=\frac{3x^2-2x-3}
    {(x^2+1)(x^2-3x+2)}
    \end{aligned}    На области определения знаменатель положителен. Корни числителя имеют видx1=1−103x2=1+103x_1=\frac{1-\sqrt{10}}3
    \qquad
    x_2=\frac{1+\sqrt{10}}3    Второй корень лежит между 11 и 22 и не принадлежит области определения.
    Поэтому функция возрастает на (−∞,x1)(-\infty,x_1), убывает на (x1,1)(x_1,1) и
    возрастает на (2,+∞)(2,+\infty). На левой ветви имеется максимумy(x1)=ln⁡3+102y(x_1)=\ln\frac{3+\sqrt{10}}2
  2. 2
    Для уточнения формы левой ветви вычислим вторую производную:y′′=H(x)(x2+1)2(x2−3x+2)2y''=\frac{H(x)}{(x^2+1)^2(x^2-3x+2)^2}гдеH(x)=−6x5+15x4−30x2+30x−13H(x)=-6x^5+15x^4-30x^2+30x-13Производная этого многочлена раскладывается на множители:H′(x)=−30(x−1)3(x+1)H'(x)=-30(x-1)^3(x+1)На (−∞,−1)(-\infty,-1) функция HH строго убывает от +∞+\infty до
    H(−1)=−52H(-1)=-52, поэтому имеет там ровно один нуль. На (−1,1)(-1,1) она
    возрастает, но H(1)=−4H(1)=-4, а при x>1x>1 снова убывает. Следовательно,
    других действительных нулей нет. Обозначим единственный нуль через
    γ\gamma. Метод половинного деления даётγ≈−1,517\gamma\approx-1{,}517Точка (γ,f(γ))(\gamma,f(\gamma)) является единственной точкой перегиба;
    численноf(γ)≈0,986f(\gamma)\approx0{,}986При этомy′′>0на (−∞,γ)y''>0 \quad \text{на }(-\infty,\gamma)y′′<0на (γ,1) и (2,+∞)y''<0 \quad \text{на }(\gamma,1)\text{ и }(2,+\infty)Следовательно, график выпуклый вниз на (−∞,γ)(-\infty,\gamma) и выпуклый
    вверх на (γ,1)(\gamma,1) и (2,+∞)(2,+\infty).

    На левой ветви функция принимает все значения от −∞-\infty до найденного
    максимума, а правая ветвь принимает значения (−∞,0)(-\infty,0). ПоэтомуE=(−∞,ln⁡3+102]E=\left(-\infty,\ln\frac{3+\sqrt{10}}2\right]
  3. 3

    Построение графика

    Вертикальные асимптоты x=1x=1 и x=2x=2 показаны
    серым пунктиром. Горизонтальная асимптота совпадает с OxOx, поэтому
    поверх оси отдельная линия не проводится. На графике отмечены максимум
    M=(x1,ln⁡3+102)M=\left(x_1,\ln\frac{3+\sqrt{10}}2\right) и точка перегиба
    I=(γ,f(γ))I=(\gamma,f(\gamma)), где f(γ)≈0,986f(\gamma)\approx0{,}986. Отмечен также
    единственный нуль x=13x=\frac13.график к задаче Демидовича № 1523

Проверка

Ответ. Область определения
(−∞,1)∪(2,+∞)(-\infty,1)\cup(2,+\infty). Единственный нуль x=13x=\frac13,
максимум достигается при x=1−103x=\frac{1-\sqrt{10}}3, единственная точка
перегиба имеет абсциссу γ≈−1,517\gamma\approx-1{,}517. Асимптоты:
x=1x=1, x=2x=2 и y=0y=0.
Демидович № 1523 — решение и ответ