Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1523

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1523

Построить график функцииy=ln⁡x2−3x+2x2+1y=\ln\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}
ПостроениеОбласть определения
(−∞,1)∪(2,+∞)(-\infty,1)\cup(2,+\infty). Единственный нуль x=13x=\frac13,
максимум достигается при x=1−103x=\frac{1-\sqrt{10}}3, единственная точка
перегиба имеет абсциссу γ∈(−1,517,−1,516)\gamma\in(-1{,}517,-1{,}516) — единственный действительный корень −6x5+15x4−30x2+30x−13=0-6x^5+15x^4-30x^2+30x-13=0. Асимптоты:
x=1x=1, x=2x=2 и y=0y=0.

Построение

Знаменатель x2+1x^2+1 положителен при всех xx. Поэтому аргумент логарифма
положителен тогда и только тогда, когда(x−1)(x−2)>0(x-1)(x-2)>0ОтсюдаD=(−∞,1)∪(2,+∞)D=(-\infty,1)\cup(2,+\infty)
Нуль функции находится из равенства аргумента логарифма единице:x2−3x+2x2+1=1⟺x=13\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac13Это единственная точка пересечения графика с осью OxOx. При x=0x=0
получаем точку пересечения с осью OyOy:y(0)=ln⁡2y(0)=\ln2На границах области определенияlim⁡x→1−y=−∞lim⁡x→2+y=−∞\lim_{x\to1^-}y=-\infty
\qquad
\lim_{x\to2^+}y=-\inftyпоэтому x=1x=1 и x=2x=2 являются вертикальными асимптотами по тем сторонам,
где функция определена. При x→±∞x\to\pm\infty отношение под логарифмом
стремится к единице, следовательно,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Горизонтальная асимптота y=0y=0 совпадает с осью OxOx.y′=2x−3x2−3x+2−2xx2+1==3x2−2x−3(x2+1)(x2−3x+2)\begin{aligned}
y'
&=\frac{2x-3}{x^2-3x+2}-\frac{2x}{x^2+1}=\\
&=\frac{3x^2-2x-3}
{(x^2+1)(x^2-3x+2)}
\end{aligned}На области определения знаменатель положителен. Корни числителя имеют видx1=1−103x2=1+103x_1=\frac{1-\sqrt{10}}3
\qquad
x_2=\frac{1+\sqrt{10}}3Второй корень лежит между 11 и 22 и не принадлежит области определения.
Поэтому функция возрастает на (−∞,x1)(-\infty,x_1), убывает на (x1,1)(x_1,1) и
возрастает на (2,+∞)(2,+\infty). На левой ветви имеется максимумy(x1)=ln⁡3+102y(x_1)=\ln\frac{3+\sqrt{10}}2
Для уточнения формы левой ветви вычислим вторую производную:y′′=H(x)(x2+1)2(x2−3x+2)2y''=\frac{H(x)}{(x^2+1)^2(x^2-3x+2)^2}гдеH(x)=−6x5+15x4−30x2+30x−13H(x)=-6x^5+15x^4-30x^2+30x-13Производная этого многочлена раскладывается на множители:H′(x)=−30(x−1)3(x+1)H'(x)=-30(x-1)^3(x+1)На (−∞,−1)(-\infty,-1) функция HH строго убывает от +∞+\infty до
H(−1)=−52H(-1)=-52, поэтому имеет там ровно один нуль. На (−1,1)(-1,1) она
возрастает, но H(1)=−4H(1)=-4, а при x>1x>1 снова убывает. Следовательно,
других действительных нулей нет. Обозначим единственный нуль через
γ\gamma. Корень можно отделить интервалом (−1,517,−1,516)(-1{,}517,-1{,}516). По схеме H(x)=((((−6x+15)x)x−30)x+30)x−13H(x)=((((-6x+15)x)x-30)x+30)x-13 вычисляем H(−1,517)=0,093860444779142>0H(-1{,}517)=0{,}093860444779142>0, H(−1,516)=−0,153074461548544<0H(-1{,}516)=-0{,}153074461548544<0. Поэтому корень лежит между этими числами. Если нужна большая точность, вычисляем HH в середине и сохраняем половину с разными знаками на концах.
Точка (γ,f(γ))(\gamma,f(\gamma)) является единственной точкой перегиба. Её точная ордината равна ln⁡[(γ2−3γ+2)/(γ2+1)]\ln[(\gamma^2-3\gamma+2)/(\gamma^2+1)].
При этомy′′>0на (−∞,γ)y''>0 \quad \text{на }(-\infty,\gamma)y′′<0на (γ,1) и (2,+∞)y''<0 \quad \text{на }(\gamma,1)\text{ и }(2,+\infty)Следовательно, график выпуклый вниз на (−∞,γ)(-\infty,\gamma) и выпуклый
вверх на (γ,1)(\gamma,1) и (2,+∞)(2,+\infty).

На левой ветви функция принимает все значения от −∞-\infty до найденного
максимума, а правая ветвь принимает значения (−∞,0)(-\infty,0). ПоэтомуE=(−∞,ln⁡3+102]E=\left(-\infty,\ln\frac{3+\sqrt{10}}2\right]

Построение графика

Вертикальные асимптоты x=1x=1 и x=2x=2 показаны
серым пунктиром. Горизонтальная асимптота совпадает с OxOx, поэтому
поверх оси отдельная линия не проводится. На графике отмечены максимум
M=(x1,ln⁡3+102)M=\left(x_1,\ln\frac{3+\sqrt{10}}2\right) и точка перегиба
I=(γ,f(γ))I=(\gamma,f(\gamma)). Отмечен также
единственный нуль x=13x=\frac13.график к задаче Демидовича № 1523

Ответ

Область определения
(−∞,1)∪(2,+∞)(-\infty,1)\cup(2,+\infty). Единственный нуль x=13x=\frac13,
максимум достигается при x=1−103x=\frac{1-\sqrt{10}}3, единственная точка
перегиба имеет абсциссу γ∈(−1,517,−1,516)\gamma\in(-1{,}517,-1{,}516) — единственный действительный корень −6x5+15x4−30x2+30x−13=0-6x^5+15x^4-30x^2+30x-13=0. Асимптоты:
x=1x=1, x=2x=2 и y=0y=0.

Проверка

В числителе первой производной после приведения к общему знаменателю имеем (2x−3)(x2+1)−2x(x2−3x+2)=3x2−2x−3(2x-3)(x^2+1)-2x(x^2-3x+2)=3x^2-2x-3. Обозначим этот числитель через NN, знаменатель через D=x4−3x3+3x2−3x+2D=x^4-3x^3+3x^2-3x+2. Тогда числитель второй производной равенN′D−ND′=(6x−2)(x4−3x3+3x2−3x+2)N'D-ND'=(6x-2)(x^4-3x^3+3x^2-3x+2)−(3x2−2x−3)(4x3−9x2+6x−3)=−6x5+15x4−30x2+30x−13.\hspace{8mm}-(3x^2-2x-3)(4x^3-9x^2+6x-3)
=-6x^5+15x^4-30x^2+30x-13.Его производная −30x4+60x3−60x+30=−30(x−1)3(x+1)-30x^4+60x^3-60x+30=-30(x-1)^3(x+1).

Для ординаты максимума положим r=(1−10)/3r=(1-\sqrt{10})/3. Из 3r2=2r+33r^2=2r+3 следуетr2−3r+2r2+1=9−7r6+2r=4−3r2=3+102.\frac{r^2-3r+2}{r^2+1}=\frac{9-7r}{6+2r}=\frac{4-3r}{2}=\frac{3+\sqrt{10}}2.Среднее равенство проверяется умножением: (4−3r)(3+r)=12−5r−3r2=9−7r(4-3r)(3+r)=12-5r-3r^2=9-7r. Логарифмирование даёт указанное значение максимума.
Демидович № 1523 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика