Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1549

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1549

r=ath⁡φφ−1φ>1a>0r=a\frac{\operatorname{th}\varphi}{\varphi-1}
\qquad
\varphi>1
\qquad
a>0
ПостроениеКривая является бесконечной спиралью: при
φ→1+\varphi\to1^+ она уходит в бесконечность вдоль асимптоты−xsin⁡1+ycos⁡1=ath⁡1-x\sin1+y\cos1=a\operatorname{th}1а при φ→+∞\varphi\to+\infty бесконечно наматывается на полюс, не достигая
его.

Построение

Идея

При φ>1\varphi>1 числитель и знаменатель положительны, поэтому r>0r>0.
Исследуем изменение радиуса. Имеем1adrdφ=φ−1ch⁡2φ−th⁡φ(φ−1)2\frac1a\frac{dr}{d\varphi}
=\frac{\frac{\varphi-1}{\operatorname{ch}^2\varphi}
-\operatorname{th}\varphi}
{(\varphi-1)^2}Числитель отрицателен. Действительно, после умножения на
ch⁡2φ>0\operatorname{ch}^2\varphi>0 требуется сравнить
φ−1\varphi-1 и sh⁡φch⁡φ\operatorname{sh}\varphi\operatorname{ch}\varphi.
Для φ>0\varphi>0sh⁡φch⁡φ>φ\operatorname{sh}\varphi\operatorname{ch}\varphi>\varphiпоскольку разность этих выражений равна нулю при φ=0\varphi=0, а её
производная равна 2sh⁡2φ>02\operatorname{sh}^2\varphi>0. Следовательно,drdφ<0φ>1\frac{dr}{d\varphi}<0
\qquad
\varphi>1Кроме того,lim⁡φ→1+r=+∞lim⁡φ→+∞r=0\lim_{\varphi\to1^+}r=+\infty
\qquad
\lim_{\varphi\to+\infty}r=0Таким образом, при возрастании φ\varphi точка бесконечно много раз
обходит полюс против часовой стрелки, а её расстояние до полюса строго
убывает. Получается бесконечная спираль, стремящаяся к полюсу, но не
достигающая его.
  1. 1
    Найдём асимптоту при φ→1+\varphi\to1^+. Введём нормированные декартовы
    координатыX=xaY=yaX=\frac xa
    \qquad
    Y=\frac ya    Здесь и далее угловой параметр φ\varphi измеряется в радианах; число
    11 в выражениях sin⁡1\sin1, cos⁡1\cos1 и th⁡1\operatorname{th}1 соответствует
    значению φ=1\varphi=1. Положим δ=φ−1\delta=\varphi-1. Проекция
    радиус-вектора точки на единичную нормаль
    (−sin⁡1,cos⁡1)(-\sin1,\cos1) к направлению φ=1\varphi=1 равна−Xsin⁡1+Ycos⁡1=rasin⁡(φ−1)-X\sin1+Y\cos1
    =\frac ra\sin(\varphi-1)    При δ→0+\delta\to0^+rasin⁡(φ−1)=th⁡(1+δ)δsin⁡δ⟶th⁡1\frac ra\sin(\varphi-1)
    =\frac{\operatorname{th}(1+\delta)}{\delta}\sin\delta
    \longrightarrow\operatorname{th}1    а координата вдоль этой прямой стремится к +∞+\infty. Поэтому асимптота
    имеет уравнение−xsin⁡1+ycos⁡1=ath⁡1-x\sin1+y\cos1=a\operatorname{th}1Она параллельна лучу φ=1\varphi=1, но не проходит через полюс.
  2. 2

    Построение графика

    Показан конечный фрагмент спирали для
    1,02⩽φ⩽1+6π1{,}02\leqslant\varphi\leqslant1+6\pi. При дальнейшем росте
    φ\varphi витки продолжают сгущаться около полюса. Пунктиром проведена
    точная асимптота, а открытый маркер в начале координат показывает, что
    предельная точка не принадлежит кривой.график к задаче Демидовича № 1549

    На следующем рисунке увеличена окрестность полюса. Показан фрагмент при
    1+π⩽φ⩽1+12π1+\pi\leqslant\varphi\leqslant1+12\pi: внешняя часть кривой входит
    через границу окна, а после последнего изображённого витка спираль
    продолжает бесконечно наматываться на полюс.график к задаче Демидовича № 1549

Проверка

Ответ. Кривая является бесконечной спиралью: при
φ→1+\varphi\to1^+ она уходит в бесконечность вдоль асимптоты−xsin⁡1+ycos⁡1=ath⁡1-x\sin1+y\cos1=a\operatorname{th}1а при φ→+∞\varphi\to+\infty бесконечно наматывается на полюс, не достигая
его.
Демидович № 1549 — решение и ответ