Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1548

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1548

r=acos⁡3φa>0r=\frac a{\sqrt{\cos3\varphi}}
\qquad
a>0
ПостроениеКривая состоит из трёх одинаковых неограниченных ветвей.
Минимальный радиус каждой ветви равен aa. Асимптотические прямые имеют
уравненияx=0y=x3y=−x3x=0
\qquad
y=\frac{x}{\sqrt3}
\qquad
y=-\frac{x}{\sqrt3}

Построение

Радиус является действительным и положительным только приcos⁡3φ>0\cos3\varphi>0За один полный оборот получаем три промежутка:−π6<φ<π6-\frac\pi6<\varphi<\frac\pi6π2<φ<5π6\frac\pi2<\varphi<\frac{5\pi}67π6<φ<3π2\frac{7\pi}6<\varphi<\frac{3\pi}2На середине каждого промежутка cos⁡3φ=1\cos3\varphi=1, поэтому радиус принимает
наименьшее значение aa. Получаем три характерные точки:(a,0)(−a2,3a2)(−a2,−3a2)(a,0)
\qquad
\left(-\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2}\right)
\qquad
\left(-\frac a2,-\frac{\sqrt3a}{2}\right)При приближении к любому концу допустимого промежутка
cos⁡3φ→0+\cos3\varphi\to0^+ и r→+∞r\to+\infty. Граничные направления имеют видφ=π6+kπ3k=0,1,…,5\varphi=\frac\pi6+\frac{k\pi}{3}
\qquad
k=0,1,\ldots,5Проверим, что соответствующие лучи являются асимптотическими. Пусть
φ0\varphi_0 --- одно из граничных направлений и
δ=φ−φ0\delta=\varphi-\varphi_0. Тогда при δ→0\delta\to0 внутри допустимого
промежуткаcos⁡3φ∼3∣δ∣r∼a3∣δ∣\cos3\varphi\sim3|\delta|
\qquad
r\sim\frac a{\sqrt{3|\delta|}}Расстояние точки кривой до луча φ=φ0\varphi=\varphi_0 имеет порядокr∣sin⁡δ∣∼a∣δ∣3⟶0r|\sin\delta|\sim a\sqrt{\frac{|\delta|}{3}}\longrightarrow0Следовательно, шесть граничных лучей образуют три прямые-асимптоты:x=0y=x3y=−x3x=0
\qquad
y=\frac{x}{\sqrt3}
\qquad
y=-\frac{x}{\sqrt3}Кривая состоит из трёх несвязных ветвей и переходит в себя при повороте
на 2π3\frac{2\pi}{3}.

Построение графика

На рисунке показаны три ветви и три тонкие пунктирные
прямые-асимптоты. Координаты нормированы делением на aa. график к задаче Демидовича № 1548

Ответ

Кривая состоит из трёх одинаковых неограниченных ветвей.
Минимальный радиус каждой ветви равен aa. Асимптотические прямые имеют
уравненияx=0y=x3y=−x3x=0
\qquad
y=\frac{x}{\sqrt3}
\qquad
y=-\frac{x}{\sqrt3}

Проверка

Если φ0=π/6+kπ/3\varphi_0=\pi/6+k\pi/3, то cos⁡3φ0=0\cos3\varphi_0=0 и sin⁡3φ0=±1\sin3\varphi_0=\pm1. Поэтому cos⁡3(φ0+δ)=∓sin⁡3δ\cos3(\varphi_0+\delta)=\mp\sin3\delta; на допустимой стороне эта величина положительна и эквивалентна 3∣δ∣3|\delta| по первому замечательному пределу. Проекция на граничный луч равна rcos⁡δ→+∞r\cos\delta\to+\infty, так что вычисленное расстояние действительно относится к удалённой части луча.
Демидович № 1548 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика