Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1555

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1555

y=xexay=xe^{\frac{x}{a}}где aa — переменный параметр.
ПостроениеПараметр принимает значения a≠0a\ne0. Все кривые проходят
через начало координат с общей касательной y=xy=x. При a>0a>0 имеется
минимум (−a,−ae)\left(-a,-\frac{a}{e}\right) и левая асимптота y=0y=0; при
a<0a<0 имеется максимум в той же по формуле точке и правая асимптота
y=0y=0. Точка перегиба равна(−2a,−2ae2)\left(-2a,-\frac{2a}{e^2}\right)

Построение

Формула имеет смысл только при a≠0a\ne0. Для каждого такого значения
параметра функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R. Поскольку
exa>0e^{\frac{x}{a}}>0, знак yy совпадает со знаком xx, а единственный нуль
функции имеет видx=0x=0Все кривые проходят через начало координат и имеют там общую касательную:y′=exa(1+xa)y′(0)=1y'=e^{\frac{x}{a}}\left(1+\frac{x}{a}\right)
\qquad
y'(0)=1Следовательно, общей касательной в точке O(0,0)O(0,0) является прямая y=xy=x.
Вторая производная равнаy′′=exaa2(x+2a)y''=\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a^2}(x+2a)поэтому точка перегиба каждой кривой имеет координатыIa(−2a,−2ae2)I_a\left(-2a,-\frac{2a}{e^2}\right)При x<−2ax<-2a имеем y′′<0y''<0, а при x>−2ax>-2a имеем y′′>0y''>0.

Случай a>0a>0.
Имеемlim⁡x→−∞xexa=0−lim⁡x→+∞xexa=+∞\lim_{x\to-\infty}xe^{\frac{x}{a}}=0^-
\qquad
\lim_{x\to+\infty}xe^{\frac{x}{a}}=+\inftyПоэтому ось OxOx является левой горизонтальной асимптотой. Производная
обращается в нуль только при x=−ax=-a. Функция убывает на
(−∞,−a)(-\infty,-a), возрастает на (−a,+∞)(-a,+\infty) и имеет минимумMa(−a,−ae)M_a\left(-a,-\frac{a}{e}\right)Случай a<0a<0.
В этом случаеlim⁡x→−∞xexa=−∞lim⁡x→+∞xexa=0+\lim_{x\to-\infty}xe^{\frac{x}{a}}=-\infty
\qquad
\lim_{x\to+\infty}xe^{\frac{x}{a}}=0^+Ось OxOx является правой горизонтальной асимптотой. Функция возрастает
на (−∞,−a)(-\infty,-a), убывает на (−a,+∞)(-a,+\infty) и имеет максимум в точкеMa(−a,−ae)M_a\left(-a,-\frac{a}{e}\right)Кривые, соответствующие параметрам aa и −a-a, центрально симметричны,
так какf−a(x)=−fa(−x)f_{-a}(x)=-f_a(-x)
Для описания всего семейства положимX=xaY=yaX=\frac{x}{a}
\qquad
Y=\frac{y}{a}Тогда исходное уравнение принимает не зависящий от параметра видY=XeXY=Xe^XСледовательно, все кривые семейства получаются из одной кривой
Y=XeXY=Xe^X преобразованием (X,Y)↦(aX,aY)(X,Y)\mapsto(aX,aY).

Построение графика

Показаны четыре характерных значения параметра:
a=1a=1, a=2a=2, a=−1a=-1 и a=−2a=-2. Закрашенными маркерами отмечены
экстремумы. Тонкой пунктирной линией проведена общая касательная y=xy=x.
Отрицательные значения параметра дают центральные отражения кривых для
соответствующих положительных значений.график к задаче Демидовича № 1555

Ответ

Параметр принимает значения a≠0a\ne0. Все кривые проходят
через начало координат с общей касательной y=xy=x. При a>0a>0 имеется
минимум (−a,−ae)\left(-a,-\frac{a}{e}\right) и левая асимптота y=0y=0; при
a<0a<0 имеется максимум в той же по формуле точке и правая асимптота
y=0y=0. Точка перегиба равна(−2a,−2ae2)\left(-2a,-\frac{2a}{e^2}\right)

Проверка

По правилу произведенияy′′=ex/aa(1+x/a)+ex/aa=ex/aa2(x+2a).y''=\frac{e^{x/a}}a(1+x/a)+\frac{e^{x/a}}a
=\frac{e^{x/a}}{a^2}(x+2a).Знаменатель a2a^2 положителен при любом допустимом знаке aa, поэтому граница изменения знака всегда x=−2ax=-2a. Подстановка даёт y(−2a)=(−2a)e−2=−2a/e2y(-2a)=(-2a)e^{-2}=-2a/e^2. В стационарной точке x=−ax=-a показатель равен −1-1, откуда y=−a/ey=-a/e.
Демидович № 1555 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика