Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1555

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1555

y=xe^{\frac{x}{a}}

где

a

— переменный параметр.

ПостроениеПараметр принимает значения

a\ne0

. Все кривые проходят
через начало координат с общей касательной

y=x

. При

a>0

имеется
минимум

\left(-a,-\frac{a}{e}\right)

и левая асимптота

y=0

; при

a<0

имеется максимум в той же по формуле точке и правая асимптота

y=0

. Точка перегиба равна

\left(-2a,-\frac{2a}{e^2}\right)

Построение

Идея

Формула имеет смысл только при

a\ne0

. Для каждого такого значения
параметра функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Поскольку

e^{\frac{x}{a}}>0

, знак

y

совпадает со знаком

x

, а единственный нуль
функции имеет вид

x=0

Все кривые проходят через начало координат и имеют там общую касательную:

y'=e^{\frac{x}{a}}\left(1+\frac{x}{a}\right)\qquady'(0)=1

Следовательно, общей касательной в точке

O(0,0)

является прямая

y=x

1
Вторая производная равна $y''=\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a^2}(x+2a)$ поэтому точка перегиба каждой кривой имеет координаты $I_a\left(-2a,-\frac{2a}{e^2}\right)$ При $x<-2a$ имеем $y''<0$ , а при $x>-2a$ имеем $y''>0$ .

Случай $a>0$ .
Имеем $\lim_{x\to-\infty}xe^{\frac{x}{a}}=0^-\qquad\lim_{x\to+\infty}xe^{\frac{x}{a}}=+\infty$ Поэтому ось $Ox$ является левой горизонтальной асимптотой. Производная
обращается в нуль только при $x=-a$ . Функция убывает на
$(-\infty,-a)$ , возрастает на $(-a,+\infty)$ и имеет минимум $M_a\left(-a,-\frac{a}{e}\right)$ Случай $a<0$ .
В этом случае $\lim_{x\to-\infty}xe^{\frac{x}{a}}=-\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}xe^{\frac{x}{a}}=0^+$ Ось $Ox$ является правой горизонтальной асимптотой. Функция возрастает
на $(-\infty,-a)$ , убывает на $(-a,+\infty)$ и имеет максимум в точке $M_a\left(-a,-\frac{a}{e}\right)$ Кривые, соответствующие параметрам $a$ и $-a$ , центрально симметричны,
так как $f_{-a}(x)=-f_a(-x)$
2
Для описания всего семейства положим $X=\frac{x}{a}\qquadY=\frac{y}{a}$ Тогда исходное уравнение принимает не зависящий от параметра вид $Y=Xe^X$ Следовательно, все кривые семейства получаются из одной кривой
$Y=Xe^X$ преобразованием $(X,Y)\mapsto(aX,aY)$ .
3
Построение графика
Показаны четыре характерных значения параметра:
$a=1$ , $a=2$ , $a=-1$ и $a=-2$ . Закрашенными маркерами отмечены
экстремумы. Тонкой пунктирной линией проведена общая касательная $y=x$ .
Отрицательные значения параметра дают центральные отражения кривых для
соответствующих положительных значений. $график к задаче Демидовича № 1555$

Проверка

Ответ. Параметр принимает значения

a\ne0