Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1546

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1546

r=a+bcos⁡φ0<a⩽br=a+b\cos\varphi
\qquad
0<a\leqslant b
ПостроениеПри a=ba=b получается кардиоида с остриём в полюсе. При
0<a<b0<a<b и принятом условии r⩾0r\geqslant0 получается замкнутая внешняя
лопасть, заданная на −β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\beta, гдеβ=arccos⁡(−ab)\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)Часть формулы с отрицательным радиусом в график не входит.

Построение

Поскольку по условию радиус неотрицателен, допустимы только те значения
φ\varphi, для которыхa+bcos⁡φ⩾0a+b\cos\varphi\geqslant0Кривая симметрична относительно полярной оси, так как замена
φ\varphi на −φ-\varphi не изменяет rr.
Рассмотрим два качественно различных случая.

Случай a=ba=b

Тогдаr=a(1+cos⁡φ)=2acos⁡2φ2r=a(1+\cos\varphi)
=2a\cos^2\frac\varphi2поэтому r⩾0r\geqslant0 при любом φ\varphi. Радиус обращается в нуль при
φ=π+2πk\varphi=\pi+2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и достигает наибольшего значения
2a2a при φ=2πk\varphi=2\pi k. Кроме того,φ=±π2⟹r=a\varphi=\pm\frac\pi2
\quad\Longrightarrow\quad
r=aСледовательно, кривая проходит через точки (0,±a)(0,\pm a), имеет вершину
(2a,0)(2a,0) и остриё в полюсе. Это кардиоида.

Построение графика

Для одного полного обхода берём
−π⩽φ⩽π-\pi\leqslant\varphi\leqslant\pi. На рисунке координаты нормированы
делением на aa.график к задаче Демидовича № 1546

Случай 0<a<b0<a<b

Положимβ=arccos⁡(−ab)=π−arccos⁡abπ2<β<π\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)
=\pi-\arccos\frac ab
\qquad
\frac\pi2<\beta<\piВ пределах одного периода условие r⩾0r\geqslant0 равносильно−β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\betaНа концах этого промежутка радиус равен нулю, а внутри него положителен.
Так какdrdφ=−bsin⁡φ\frac{dr}{d\varphi}=-b\sin\varphiрадиус возрастает от 00 до a+ba+b при
−β⩽φ⩽0-\beta\leqslant\varphi\leqslant0, а затем убывает до 00. Кривая
проходит через полюс, точки (0,±a)(0,\pm a) и крайнюю точку (a+b,0)(a+b,0).
В полюсе две части кривой имеют различные касательные, направленные вдоль
лучей φ=±β\varphi=\pm\beta.

Важно, что участок, на котором a+bcos⁡φ<0a+b\cos\varphi<0, по условию
r⩾0r\geqslant0 не принадлежит графику. Поэтому внутреннюю петлю,
возникающую при соглашении о допустимости отрицательных радиусов, здесь
не строим.

Построение графика

Показан характерный случай ab=12\frac ab=\frac12; тогда
β=2π3\beta=\frac{2\pi}{3}. Все кривые при 0<a<b0<a<b имеют одинаковую топологию,
однако их точная форма зависит от отношения ab\frac ab. При фиксированном
отношении ab\frac ab одновременное умножение aa и bb на одно положительное
число лишь масштабирует кривую.график к задаче Демидовича № 1546

Ответ

При a=ba=b получается кардиоида с остриём в полюсе. При
0<a<b0<a<b и принятом условии r⩾0r\geqslant0 получается замкнутая внешняя
лопасть, заданная на −β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\beta, гдеβ=arccos⁡(−ab)\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)Часть формулы с отрицательным радиусом в график не входит.

Проверка

Для кардиоиды проверим остриё. Пусть φ=π+δ\varphi=\pi+\delta, δ→0\delta\to0. Тогда r=a(1−cos⁡δ)=aδ2/2+O(δ4)r=a(1-\cos\delta)=a\delta^2/2+O(\delta^4),x=rcos⁡(π+δ)=−aδ2/2+O(δ4),y=rsin⁡(π+δ)=−aδ3/2+O(δ5).x=r\cos(\pi+\delta)=-a\delta^2/2+O(\delta^4),\qquad
y=r\sin(\pi+\delta)=-a\delta^3/2+O(\delta^5).Поэтому обе дуги подходят к полюсу слева с общей горизонтальной касательной y=0y=0.

Если 0<a<b0<a<b, то при φ=±β\varphi=\pm\beta радиус равен нулю, но r′=−bsin⁡φ≠0r'=-b\sin\varphi\ne0. Производные декартовых координат x=rcos⁡φx=r\cos\varphi, y=rsin⁡φy=r\sin\varphi в полюсе равны r′(cos⁡φ,sin⁡φ)r'(\cos\varphi,\sin\varphi). Следовательно, касательные имеют направления ±β\pm\beta и различны. Различие между этими двумя случаями следует из производных, а не только из вида рисунка.
Демидович № 1546 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика