Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1546

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции, заданной в полярной системе координат
(φ,r)(\varphi,r), где r⩾0r\geqslant0:

Задача 1546

r=a+bcos⁡φ0<a⩽br=a+b\cos\varphi
\qquad
0<a\leqslant b
ПостроениеПри a=ba=b получается кардиоида с остриём в полюсе. При
0<a<b0<a<b и принятом условии r⩾0r\geqslant0 получается замкнутая внешняя
лопасть, заданная на −β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\beta, гдеβ=arccos⁡(−ab)\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)Часть формулы с отрицательным радиусом в график не входит.

Построение

Идея

Поскольку по условию радиус неотрицателен, допустимы только те значения
φ\varphi, для которыхa+bcos⁡φ⩾0a+b\cos\varphi\geqslant0Кривая симметрична относительно полярной оси, так как замена
φ\varphi на −φ-\varphi не изменяет rr.
  1. 1
    Рассмотрим два качественно различных случая.
  2. 2

    Случай $a=b$

    Тогдаr=a(1+cos⁡φ)=2acos⁡2φ2r=a(1+\cos\varphi)
    =2a\cos^2\frac\varphi2    поэтому r⩾0r\geqslant0 при любом φ\varphi. Радиус обращается в нуль при
    φ=π+2πk\varphi=\pi+2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и достигает наибольшего значения
    2a2a при φ=2πk\varphi=2\pi k. Кроме того,φ=±π2⟹r=a\varphi=\pm\frac\pi2
    \quad\Longrightarrow\quad
    r=a    Следовательно, кривая проходит через точки (0,±a)(0,\pm a), имеет вершину
    (2a,0)(2a,0) и остриё в полюсе. Это кардиоида.
  3. 3

    Построение графика

    Для одного полного обхода берём
    −π⩽φ⩽π-\pi\leqslant\varphi\leqslant\pi. На рисунке координаты нормированы
    делением на aa.график к задаче Демидовича № 1546
  4. 4

    Случай $0<$a$<b$

    Положимβ=arccos⁡(−ab)=π−arccos⁡abπ2<β<π\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)
    =\pi-\arccos\frac ab
    \qquad
    \frac\pi2<\beta<\pi    В пределах одного периода условие r⩾0r\geqslant0 равносильно−β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\betaНа концах этого промежутка радиус равен нулю, а внутри него положителен.
    Так какdrdφ=−bsin⁡φ\frac{dr}{d\varphi}=-b\sin\varphiрадиус возрастает от 00 до a+ba+b при
    −β⩽φ⩽0-\beta\leqslant\varphi\leqslant0, а затем убывает до 00. Кривая
    проходит через полюс, точки (0,±a)(0,\pm a) и крайнюю точку (a+b,0)(a+b,0).
    В полюсе две части кривой имеют различные касательные, направленные вдоль
    лучей φ=±β\varphi=\pm\beta.

    Важно, что участок, на котором a+bcos⁡φ<0a+b\cos\varphi<0, по условию
    r⩾0r\geqslant0 не принадлежит графику. Поэтому внутреннюю петлю,
    возникающую при соглашении о допустимости отрицательных радиусов, здесь
    не строим.
  5. 5

    Построение графика

    Показан характерный случай ab=12\frac ab=\frac12; тогда
    β=2π3\beta=\frac{2\pi}{3}. Все кривые при 0<a<b0<a<b имеют одинаковую топологию,
    однако их точная форма зависит от отношения ab\frac ab. При фиксированном
    отношении ab\frac ab одновременное умножение aa и bb на одно положительное
    число лишь масштабирует кривую.график к задаче Демидовича № 1546

Проверка

Ответ. При a=ba=b получается кардиоида с остриём в полюсе. При
0<a<b0<a<b и принятом условии r⩾0r\geqslant0 получается замкнутая внешняя
лопасть, заданная на −β⩽φ⩽β-\beta\leqslant\varphi\leqslant\beta, гдеβ=arccos⁡(−ab)\beta=\arccos\left(-\frac ab\right)Часть формулы с отрицательным радиусом в график не входит.
Демидович № 1546 — решение и ответ